Номер 268, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 268, страница 343.

Условие.

268. Докажите, что:

a) $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$, если $f(x)$ — нечетная функция;

б) $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$, если $f(x)$ — четная функция.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать данное утверждение, воспользуемся свойством аддитивности определенного интеграла. Разобьем интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ на сумму двух интегралов:

$ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx $

Рассмотрим первый интеграл в правой части равенства, $ \int_{-a}^{0} f(x) dx $. Выполним в нем замену переменной. Пусть $t = -x$, тогда $x = -t$ и, следовательно, дифференциал $dx = -dt$. Также необходимо изменить пределы интегрирования: если нижний предел $x = -a$, то новый нижний предел $t = -(-a) = a$; если верхний предел $x = 0$, то новый верхний предел $t = 0$.

После замены интеграл примет вид:

$ \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-t) (-dt) $

По условию, $f(x)$ — нечетная функция, а это значит, что для любого $t$ из области определения выполняется равенство $f(-t) = -f(t)$. Подставим это в наш интеграл:

$ \int_{a}^{0} (-f(t)) (-dt) = \int_{a}^{0} f(t) dt $

Теперь воспользуемся свойством определенного интеграла: $\int_{b}^{c} g(t) dt = -\int_{c}^{b} g(t) dt$. Поменяв местами пределы интегрирования, получаем:

$ \int_{a}^{0} f(t) dt = - \int_{0}^{a} f(t) dt $

Так как переменная интегрирования является фиктивной, мы можем заменить ее обратно на $x$:

$ - \int_{0}^{a} f(t) dt = - \int_{0}^{a} f(x) dx $

Мы показали, что $ \int_{-a}^{0} f(x) dx = - \int_{0}^{a} f(x) dx $. Подставим этот результат в исходное выражение, полученное на первом шаге:

$ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \left( - \int_{0}^{a} f(x) dx \right) + \int_{0}^{a} f(x) dx = 0 $

Что и требовалось доказать. Геометрически это означает, что для нечетной функции площади криволинейных трапеций на промежутках $[-a, 0]$ и $[0, a]$ равны по величине, но противоположны по знаку, поэтому их сумма равна нулю.

Ответ: $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$, если $f(x)$ — нечетная функция.

б)

Доказательство этого утверждения проводится аналогично предыдущему пункту. Сначала разобьем исходный интеграл на два:

$ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx $

В первом интеграле $ \int_{-a}^{0} f(x) dx $ сделаем замену переменной: $t = -x$. Тогда $x = -t$, $dx = -dt$. Новые пределы интегрирования: при $x = -a$ получаем $t = a$, а при $x = 0$ получаем $t = 0$.

Выполним подстановку:

$ \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-t) (-dt) $

По условию, $f(x)$ — четная функция, то есть для любого $t$ выполняется равенство $f(-t) = f(t)$. Используем это свойство:

$ \int_{a}^{0} f(t) (-dt) = - \int_{a}^{0} f(t) dt $

Поменяем пределы интегрирования, изменив знак перед интегралом на противоположный:

$ - \int_{a}^{0} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(t) dt $

Мы показали, что $ \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(x) dx $ (после замены фиктивной переменной $t$ на $x$). Теперь подставим полученный результат в самое первое равенство:

$ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx $

Что и требовалось доказать. Геометрически это означает, что для четной функции (график которой симметричен относительно оси ординат) площади криволинейных трапеций на промежутках $[-a, 0]$ и $[0, a]$ равны.

Ответ: $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$, если $f(x)$ — четная функция.