Номер 272, страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 272, страница 344.

Условие.

272. Вычислите:

а) $\int_0^{2\pi} \cos^2 nx dx (n \in N);$

б) $\int_0^{2\pi} \sin kx \cos mx dx (m \in N, k \in N);$

в) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx;$

г) $\int_0^{\pi} \sin 3x \cos 5x dx.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Вычислить $\int_{0}^{2\pi} \cos^2(nx) dx$ (где $n \in \mathbb{N}$).

Для решения этого интеграла мы используем тригонометрическую формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применяя эту формулу к подынтегральному выражению, получаем:

$\int_{0}^{2\pi} \cos^2(nx) dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos(2nx)}{2} dx$

Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла и разбиваем интеграл на два:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos(2nx)) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{2\pi} 1 dx + \int_{0}^{2\pi} \cos(2nx) dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл отдельно:

$\int_{0}^{2\pi} 1 dx = [x]_{0}^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi$

$\int_{0}^{2\pi} \cos(2nx) dx = \left[ \frac{\sin(2nx)}{2n} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{\sin(2n \cdot 2\pi)}{2n} - \frac{\sin(2n \cdot 0)}{2n} = \frac{\sin(4n\pi)}{2n} - \frac{\sin(0)}{2n}$

Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), $4n\pi$ является целым кратным $\pi$, и $\sin(4n\pi) = 0$. Также $\sin(0) = 0$. Следовательно, второй интеграл равен 0.

Подставляем найденные значения обратно:

$\frac{1}{2} (2\pi + 0) = \pi$

Ответ: $\pi$

б) Вычислить $\int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \cos(mx) dx$ (где $m, k \in \mathbb{N}$).

Для вычисления этого интеграла используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

Применяя формулу, получаем:

$\int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \cos(mx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\sin((k+m)x) + \sin((k-m)x)) dx$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $k \neq m$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int_{0}^{2\pi} \sin((k+m)x) dx = \left[ -\frac{\cos((k+m)x)}{k+m} \right]_{0}^{2\pi} = -\frac{\cos(2\pi(k+m))}{k+m} + \frac{\cos(0)}{k+m} = -\frac{1}{k+m} + \frac{1}{k+m} = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \sin((k-m)x) dx = \left[ -\frac{\cos((k-m)x)}{k-m} \right]_{0}^{2\pi} = -\frac{\cos(2\pi(k-m))}{k-m} + \frac{\cos(0)}{k-m} = -\frac{1}{k-m} + \frac{1}{k-m} = 0$

Таким образом, весь интеграл равен $\frac{1}{2}(0 + 0) = 0$.

Случай 2: $k = m$.

В этом случае $\sin((k-m)x) = \sin(0) = 0$. Интеграл упрощается до:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(2kx) dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(2kx)}{2k} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos(4k\pi)}{2k} + \frac{\cos(0)}{2k} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} \right) = 0$

В обоих случаях интеграл равен 0. Это является следствием ортогональности функций $\sin(kx)$ и $\cos(mx)$ на интервале $[0, 2\pi]$ для любых натуральных $k$ и $m$.

Ответ: $0$

в) Вычислить $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos(2x)) dx$

$\frac{1}{2} \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x) dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = [x]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x) dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(-2\pi)}{2} = 0 - 0 = 0$

Подставляем результаты:

$\frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

Ответ: $\pi$

г) Вычислить $\int_{0}^{\pi} \sin(3x) \cos(5x) dx$.

Снова используем формулу преобразования произведения в сумму:

$\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

$\sin(3x) \cos(5x) = \frac{1}{2}(\sin(3x+5x) + \sin(3x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(-2x))$

Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-z) = -\sin(z)$), выражение упрощается:

$\frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x))$

Теперь вычисляем интеграл:

$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\pi} \sin(8x) dx - \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл отдельно:

$\int_{0}^{\pi} \sin(8x) dx = \left[ -\frac{\cos(8x)}{8} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(8\pi)}{8} - \left(-\frac{\cos(0)}{8}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 0$

$\int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(2\pi)}{2} - \left(-\frac{\cos(0)}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Итоговый результат:

$\frac{1}{2} (0 - 0) = 0$

Ответ: $0$