Номер 278, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 278, страница 345.

Условие.

278. Докажите, что площадь параболического сегмента, заключенного между параболой $y = x^2$ и произвольной прямой, параллельной оси абсцисс, равна $\frac{2}{3}$ площади прямоугольника с вершинами в точках пересечения прямой с параболой и основаниями перпендикуляров к оси абсцисс, опущенных из точек пересечения.

Решение 5.

Для доказательства утверждения рассмотрим параболу, заданную уравнением $y = x^2$, и произвольную прямую, параллельную оси абсцисс. Уравнение такой прямой имеет вид $y = h$, где $h$ — некоторая положительная константа ($h > 0$), чтобы прямая пересекала параболу в двух точках.

1. Нахождение координат вершин прямоугольника и его площади.

Сначала найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = h$. Для этого приравняем их уравнения:

$x^2 = h$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = -\sqrt{h}$ и $x_2 = \sqrt{h}$.

Таким образом, точки пересечения прямой с параболой имеют координаты $A(-\sqrt{h}, h)$ и $B(\sqrt{h}, h)$.

Прямоугольник, о котором говорится в задаче, имеет своими вершинами эти точки пересечения, а также основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось абсцисс (ось $Ox$). Основаниями перпендикуляров будут точки $C(-\sqrt{h}, 0)$ и $D(\sqrt{h}, 0)$.

Следовательно, вершины прямоугольника — это $A(-\sqrt{h}, h)$, $B(\sqrt{h}, h)$, $D(\sqrt{h}, 0)$ и $C(-\sqrt{h}, 0)$.

Ширина этого прямоугольника равна расстоянию между точками $C$ и $D$ по оси $x$: $\sqrt{h} - (-\sqrt{h}) = 2\sqrt{h}$.

Высота прямоугольника равна ординате точек $A$ и $B$, то есть $h$.

Площадь этого прямоугольника, обозначим ее $S_{прямоуг}$, равна произведению ширины на высоту:

$S_{прямоуг} = (2\sqrt{h}) \cdot h = 2h\sqrt{h}$.

2. Нахождение площади параболического сегмента.

Параболический сегмент — это фигура, ограниченная сверху прямой $y = h$ и снизу параболой $y = x^2$. Его площадь, $S_{сегм}$, можно найти с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по оси $x$ — это абсциссы точек пересечения, то есть от $-\sqrt{h}$ до $\sqrt{h}$.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми $f(x)$ (верхняя) и $g(x)$ (нижняя), вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

В нашем случае $f(x) = h$, $g(x) = x^2$, $a = -\sqrt{h}$ и $b = \sqrt{h}$.

$S_{сегм} = \int_{-\sqrt{h}}^{\sqrt{h}} (h - x^2) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S_{сегм} = \left[ hx - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{h}}^{\sqrt{h}} = \left( h\sqrt{h} - \frac{(\sqrt{h})^3}{3} \right) - \left( h(-\sqrt{h}) - \frac{(-\sqrt{h})^3}{3} \right)$

$S_{сегм} = \left( h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3} \right) - \left( -h\sqrt{h} + \frac{h\sqrt{h}}{3} \right) = h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3} + h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3}$

$S_{сегм} = 2h\sqrt{h} - \frac{2h\sqrt{h}}{3} = \frac{6h\sqrt{h} - 2h\sqrt{h}}{3} = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$

3. Сравнение площадей.

Теперь сравним найденную площадь параболического сегмента с площадью прямоугольника.

Площадь сегмента: $S_{сегм} = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$.

Площадь прямоугольника: $S_{прямоуг} = 2h\sqrt{h}$.

Найдем их отношение:

$\frac{S_{сегм}}{S_{прямоуг}} = \frac{\frac{4h\sqrt{h}}{3}}{2h\sqrt{h}} = \frac{4h\sqrt{h}}{3 \cdot 2h\sqrt{h}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Таким образом, мы доказали, что $S_{сегм} = \frac{2}{3} S_{прямоуг}$.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь параболического сегмента, ограниченного параболой $y = x^2$ и прямой $y=h$, равна $S_{сегм} = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$. Площадь описанного прямоугольника равна $S_{прямоуг} = 2h\sqrt{h}$. Их отношение составляет $\frac{S_{сегм}}{S_{прямоуг}} = \frac{2}{3}$, что и требовалось доказать.