Номер 275, страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 275, страница 344.

Условие.

275. При каких значениях параметров a, b и c определен интеграл:

a) $ \int_{a}^{b} \frac{dx}{x-2} $;

б) $ \int_{0}^{3} \frac{dx}{x-c} $;

в) $ \int_{a}^{b} \frac{dx}{x+c} $?

Решение 5.

а) Определенный интеграл $\int_a^b \frac{dx}{x-2}$ существует, если подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x-2}$ непрерывна на отрезке интегрирования $[a, b]$. Эта функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=2$, где ее знаменатель обращается в ноль. Для того чтобы интеграл был определен как собственный, точка разрыва $x=2$ не должна принадлежать отрезку $[a, b]$. Это означает, что весь отрезок интегрирования должен лежать по одну сторону от точки разрыва. Приняв стандартное условие $a \le b$, получаем два возможных случая:
1) Отрезок $[a, b]$ находится левее точки $2$, то есть $b < 2$.
2) Отрезок $[a, b]$ находится правее точки $2$, то есть $a > 2$.
Эти два случая можно объединить в одно условие $2 \notin [a, b]$.
Ответ: $a \le b < 2$ или $2 < a \le b$.

б) Интеграл $\int_0^3 \frac{dx}{x-c}$ определен, если подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x-c}$ непрерывна на отрезке интегрирования $[0, 3]$. Данная функция имеет разрыв в точке $x=c$. Для существования интеграла необходимо, чтобы эта точка разрыва не принадлежала отрезку $[0, 3]$. Таким образом, должно выполняться условие $c \notin [0, 3]$, что означает, что $c$ должно быть либо меньше $0$, либо больше $3$.
Ответ: $c < 0$ или $c > 3$.

в) Интеграл $\int_a^b \frac{dx}{x+c}$ определен, если подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x+c}$ непрерывна на отрезке интегрирования $[a, b]$. Точка разрыва этой функции находится там, где знаменатель равен нулю, то есть при $x+c=0$, откуда $x=-c$. Чтобы интеграл был определен, точка разрыва $x=-c$ не должна принадлежать отрезку $[a, b]$ (при условии $a \le b$). Это значит, что $-c$ должно быть либо строго меньше $a$, либо строго больше $b$.
1) $-c < a$, что равносильно $c > -a$.
2) $-c > b$, что равносильно $c < -b$.
Следовательно, параметр $c$ должен удовлетворять одному из этих двух неравенств.
Ответ: при $a \le b$ должно выполняться условие $c < -b$ или $c > -a$.