Номер 279, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 279, страница 345.

Условие.

279. Пружина растягивается на 2 см под действием силы в 180 Н. Первоначальная длина пружины равна 20 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину до 25 см?

Решение 5.

Решение:

Для решения задачи необходимо сначала найти коэффициент жесткости пружины $k$, а затем вычислить работу по растяжению пружины.

1. Нахождение коэффициента жесткости пружины ($k$).

Согласно закону Гука, сила упругости $F$, возникающая в пружине, прямо пропорциональна ее удлинению $\Delta l$:

$F = k \cdot \Delta l$

Из условия известно, что под действием силы $F_1 = 180$ Н пружина растягивается на $\Delta l_1 = 2$ см. Прежде чем производить расчеты, переведем величину удлинения в систему СИ (метры):

$\Delta l_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Теперь выразим и рассчитаем коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{\Delta l_1} = \frac{180 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 9000 \text{ Н/м}$

2. Вычисление работы по растяжению пружины.

Требуется найти работу, которую нужно совершить, чтобы растянуть пружину до длины $l_2 = 25$ см. Первоначальная длина пружины в недеформированном состоянии составляет $l_0 = 20$ см. Следовательно, конечное удлинение пружины $\Delta l_2$ относительно ее первоначальной длины равно:

$\Delta l_2 = l_2 - l_0 = 25 \text{ см} - 20 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Переведем это значение в систему СИ:

$\Delta l_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Работа $A$, совершаемая для растяжения пружины из состояния покоя на величину $\Delta l_2$, равна потенциальной энергии, запасенной в пружине, и вычисляется по формуле:

$A = \frac{k (\Delta l_2)^2}{2}$

Подставим найденные значения $k$ и $\Delta l_2$ в эту формулу:

$A = \frac{9000 \text{ Н/м} \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{9000 \cdot 0.0025}{2} = \frac{22.5}{2} = 11.25 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы растянуть пружину до 25 см, нужно совершить работу в 11.25 Дж.