Номер 283, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 283, страница 345.

Условие.

283. Однородная треугольная пластинка с основанием $a = 40$ см и высотой $h = 30$ см вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью $\omega = 5\pi$ c$^{-1}$. Найдите кинетическую энергию пластинки, если ее толщина $d = 0,2$ см, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка, равна $\rho = 2,2$ г/см$^3$. (Толщиной пластинки пренебречь.)

Решение 5.

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой $E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$, где $I$ - момент инерции тела относительно оси вращения, а $\omega$ - угловая скорость.

Момент инерции однородной треугольной пластинки, вращающейся вокруг своего основания, равен $I = \frac{1}{6} m h^2$, где $m$ - масса пластинки, а $h$ - ее высота.

Примечание в условии "Толщиной пластинки пренебречь" означает, что мы можем использовать формулу момента инерции для плоской фигуры, но для нахождения массы толщину необходимо учесть.

Для проведения расчетов переведем все величины в систему СИ:
Основание: $a = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$
Высота: $h = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$
Толщина: $d = 0,2 \text{ см} = 0,002 \text{ м}$
Плотность: $\rho = 2,2 \text{ г/см}^3 = 2,2 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2200 \text{ кг/м}^3$
Угловая скорость: $\omega = 5\pi \text{ с}^{-1}$

Сначала вычислим массу пластинки $m$. Для этого найдем ее объем $V$.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 0,4 \text{ м} \cdot 0,3 \text{ м} = 0,06 \text{ м}^2$.
Объем пластинки: $V = S \cdot d = 0,06 \text{ м}^2 \cdot 0,002 \text{ м} = 0,00012 \text{ м}^3$.
Масса пластинки: $m = \rho \cdot V = 2200 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,00012 \text{ м}^3 = 0,264 \text{ кг}$.

Теперь рассчитаем момент инерции $I$ относительно основания:
$I = \frac{1}{6} m h^2 = \frac{1}{6} \cdot 0,264 \text{ кг} \cdot (0,3 \text{ м})^2 = \frac{1}{6} \cdot 0,264 \cdot 0,09 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 0,00396 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Наконец, найдем кинетическую энергию $E_k$:
$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,00396 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (5\pi \text{ с}^{-1})^2 = 0,00198 \cdot 25\pi^2 \text{ Дж} = 0,0495\pi^2 \text{ Дж}$.

Подставляя значение $\pi^2 \approx 9,87$, получаем $E_k \approx 0,0495 \cdot 9,87 \text{ Дж} \approx 0,489 \text{ Дж}$. Округлив результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), итоговое значение составит $0,49 \text{ Дж}$.

Ответ: $0,49 \text{ Дж}$.