Номер 286, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 286, страница 345.

Условие.

286. Докажите, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна $ \rho g V h $, где $ \rho $ — плотность воды, $ g $ — ускорение свободного падения, $ h $ — глубина погружения центра масс части тела, находящейся в воде, $ V $ — ее объем.

Решение 5.

Для доказательства воспользуемся энергетическим подходом. Работа, производимая внешней силой против силы выталкивания (силы Архимеда) при погружении тела в воду, равна изменению потенциальной энергии системы "тело-вода". Это изменение энергии эквивалентно работе, которую необходимо совершить, чтобы поднять массу воды, занимавшую объем погруженной части тела, на ее место.

Рассмотрим процесс погружения тела. Когда часть тела объемом $V$ оказывается под водой, она вытесняет такой же объем воды. Сила Архимеда по своей сути является равнодействующей сил давления воды, действующих на поверхность тела. Работа против этих сил равна работе по подъему вытесненной воды.

Представим, что объем $V$, который в итоге займет погруженная часть тела, изначально был заполнен водой. Чтобы освободить это место для тела, мы должны "убрать" эту воду. Энергетически это эквивалентно подъему каждого элементарного объема воды $dV$ из этого пространства на поверхность жидкости (нулевой уровень потенциальной энергии).

Масса элементарного объема воды $dV$ равна $dm = \rho dV$, где $\rho$ — плотность воды.

Если этот элементарный объем находится на глубине $z$, то работа $dA$, которую нужно совершить, чтобы поднять его на поверхность (на высоту $z$), равна: $dA = dm \cdot g \cdot z = \rho g z dV$

Чтобы найти полную работу $A$, необходимо проинтегрировать это выражение по всему вытесненному объему $V$: $A = \int_V dA = \int_V \rho g z dV$

Поскольку плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак интеграла: $A = \rho g \int_V z dV$

Теперь вспомним определение центра масс. Координата центра масс (в данном случае, глубина $h$) для однородного объема $V$ определяется как: $h = \frac{\int_V z dV}{\int_V dV} = \frac{\int_V z dV}{V}$

Из этой формулы мы можем выразить интеграл: $\int_V z dV = V \cdot h$

Подставим это выражение обратно в формулу для работы: $A = \rho g (V h) = \rho g V h$

Таким образом, мы доказали, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении тела, равна $\rho g V h$.

Ответ: Доказательство приведено выше. Работа против силы выталкивания равна потенциальной энергии вытесненной жидкости объемом $V$, центр масс которой находится на глубине $h$, что и составляет величину $A = \rho g V h$.