Номер 281, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 281, страница 345.

№281 (с. 345)
Условие. №281 (с. 345)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 345, номер 281, Условие

281. Капля воды с начальной массой $M$ падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу $m$. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до ее полного испарения?

Решение 5. №281 (с. 345)

Для нахождения работы силы тяжести необходимо определить, как изменяются со временем масса капли, ее скорость и действующая на нее сила тяжести.

Пусть $t$ — время, отсчитываемое от начала падения. Масса капли $M(t)$ в момент времени $t$ уменьшается линейно из-за равномерного испарения:

$M(t) = M - mt$

где $M$ — начальная масса, а $m$ — масса, теряемая за единицу времени (скорость испарения).

Капля полностью испарится, когда ее масса станет равной нулю. Найдем время полного испарения $T$ из условия $M(T) = 0$:

$M - mT = 0 \implies T = \frac{M}{m}$

Сила тяжести, действующая на каплю в момент времени $t$, зависит от ее текущей массы:

$F_g(t) = M(t)g = (M - mt)g$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Для определения скорости капли воспользуемся вторым законом Ньютона. В задачах такого типа обычно предполагается, что испаряющиеся частицы воды не создают реактивной силы (то есть их скорость относительно капли равна нулю). В таком случае уравнение движения для тела с переменной массой $F_{ext} = \frac{d(Mv)}{dt}$ можно упростить. Сила тяжести $F_g(t)$ является внешней силой. Уравнение движения $M(t)a(t) = F_g(t)$ приводит к следующему:

$(M - mt)a(t) = (M - mt)g$

Отсюда следует, что ускорение капли постоянно и равно $g$.

Так как капля начинает падать из состояния покоя ($v(0)=0$), ее скорость в момент времени $t$ определяется как:

$v(t) = gt$

Работа силы тяжести $A_g$ за малый промежуток времени $dt$ равна $dA_g = F_g(t) \cdot ds$, где $ds = v(t)dt$ — элементарное перемещение. Тогда элементарная работа (или мгновенная мощность, умноженная на $dt$) равна:

$dA_g = F_g(t)v(t)dt = (M - mt)g \cdot (gt)dt = g^2t(M - mt)dt$

Полная работа силы тяжести за все время падения до полного испарения (от $t=0$ до $t=T$) находится путем интегрирования этого выражения:

$A_g = \int_{0}^{T} g^2t(M - mt) dt = g^2 \int_{0}^{M/m} (Mt - mt^2) dt$

Вычислим полученный интеграл:

$A_g = g^2 \left[ \frac{Mt^2}{2} - \frac{mt^3}{3} \right]_{0}^{M/m} = g^2 \left( \left(\frac{M(M/m)^2}{2} - \frac{m(M/m)^3}{3}\right) - 0 \right)$

$A_g = g^2 \left( \frac{M \cdot M^2}{2m^2} - \frac{m \cdot M^3}{3m^3} \right) = g^2 \left( \frac{M^3}{2m^2} - \frac{M^3}{3m^2} \right)$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем окончательный результат:

$A_g = g^2 \frac{M^3}{m^2} \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = g^2 \frac{M^3}{m^2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{g^2 M^3}{6m^2}$

Ответ: $A_g = \frac{g^2 M^3}{6m^2}$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 281 расположенного на странице 345 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №281 (с. 345), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.