Номер 281, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 281, страница 345.

Условие.

281. Капля воды с начальной массой $M$ падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу $m$. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до ее полного испарения?

Решение 5.

Для нахождения работы силы тяжести необходимо определить, как изменяются со временем масса капли, ее скорость и действующая на нее сила тяжести.

Пусть $t$ — время, отсчитываемое от начала падения. Масса капли $M(t)$ в момент времени $t$ уменьшается линейно из-за равномерного испарения:

$M(t) = M - mt$

где $M$ — начальная масса, а $m$ — масса, теряемая за единицу времени (скорость испарения).

Капля полностью испарится, когда ее масса станет равной нулю. Найдем время полного испарения $T$ из условия $M(T) = 0$:

$M - mT = 0 \implies T = \frac{M}{m}$

Сила тяжести, действующая на каплю в момент времени $t$, зависит от ее текущей массы:

$F_g(t) = M(t)g = (M - mt)g$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Для определения скорости капли воспользуемся вторым законом Ньютона. В задачах такого типа обычно предполагается, что испаряющиеся частицы воды не создают реактивной силы (то есть их скорость относительно капли равна нулю). В таком случае уравнение движения для тела с переменной массой $F_{ext} = \frac{d(Mv)}{dt}$ можно упростить. Сила тяжести $F_g(t)$ является внешней силой. Уравнение движения $M(t)a(t) = F_g(t)$ приводит к следующему:

$(M - mt)a(t) = (M - mt)g$

Отсюда следует, что ускорение капли постоянно и равно $g$.

Так как капля начинает падать из состояния покоя ($v(0)=0$), ее скорость в момент времени $t$ определяется как:

$v(t) = gt$

Работа силы тяжести $A_g$ за малый промежуток времени $dt$ равна $dA_g = F_g(t) \cdot ds$, где $ds = v(t)dt$ — элементарное перемещение. Тогда элементарная работа (или мгновенная мощность, умноженная на $dt$) равна:

$dA_g = F_g(t)v(t)dt = (M - mt)g \cdot (gt)dt = g^2t(M - mt)dt$

Полная работа силы тяжести за все время падения до полного испарения (от $t=0$ до $t=T$) находится путем интегрирования этого выражения:

$A_g = \int_{0}^{T} g^2t(M - mt) dt = g^2 \int_{0}^{M/m} (Mt - mt^2) dt$

Вычислим полученный интеграл:

$A_g = g^2 \left[ \frac{Mt^2}{2} - \frac{mt^3}{3} \right]_{0}^{M/m} = g^2 \left( \left(\frac{M(M/m)^2}{2} - \frac{m(M/m)^3}{3}\right) - 0 \right)$

$A_g = g^2 \left( \frac{M \cdot M^2}{2m^2} - \frac{m \cdot M^3}{3m^3} \right) = g^2 \left( \frac{M^3}{2m^2} - \frac{M^3}{3m^2} \right)$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем окончательный результат:

$A_g = g^2 \frac{M^3}{m^2} \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = g^2 \frac{M^3}{m^2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{g^2 M^3}{6m^2}$

Ответ: $A_g = \frac{g^2 M^3}{6m^2}$