Номер 276, страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 276, страница 344.

Условие.

276. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) $y = |x^2 - 1|$ и $y = 5 + |x|$;

б) $|y| = 2x - x^2$.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = |x^2 - 1|$ и $y = 5 + |x|$

Обе функции, $y_1(x) = |x^2 - 1|$ и $y_2(x) = 5 + |x|$, являются четными, так как $y_1(-x) = |(-x)^2 - 1| = |x^2 - 1| = y_1(x)$ и $y_2(-x) = 5 + |-x| = 5 + |x| = y_2(x)$. Это означает, что графики этих функций симметричны относительно оси OY. Поэтому мы можем найти площадь фигуры для $x \ge 0$ и затем умножить результат на 2, чтобы получить общую площадь.

Найдем точки пересечения графиков для $x \ge 0$. При $x \ge 0$ уравнения принимают вид: $y = |x^2 - 1|$ и $y = 5 + x$.

Приравняем функции: $|x^2 - 1| = 5 + x$.

Раскроем модуль $|x^2 - 1|$.

1. Если $0 \le x < 1$, то $x^2 - 1 < 0$, и уравнение становится $-(x^2 - 1) = 5 + x$ или $1 - x^2 = 5 + x$.

$x^2 + x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$. В этом интервале действительных корней нет.

2. Если $x \ge 1$, то $x^2 - 1 \ge 0$, и уравнение становится $x^2 - 1 = 5 + x$.

$x^2 - x - 6 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 1$, нас интересует только корень $x = 3$.

Таким образом, для $x \ge 0$ графики пересекаются в точке $x = 3$. Из-за симметрии, для $x < 0$ точка пересечения будет $x = -3$. Фигура ограничена по оси $x$ от -3 до 3.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции $y_2 = 5 + |x|$ и нижней функции $y_1 = |x^2 - 1|$:

$S = \int_{-3}^{3} ( (5 + |x|) - |x^2 - 1| ) dx$.

Так как подынтегральная функция четная, воспользуемся свойством симметрии:

$S = 2 \int_{0}^{3} (5 + x - |x^2 - 1|) dx$.

Разобьем интеграл на два, учитывая раскрытие модуля $|x^2 - 1|$ в точке $x=1$:

$S = 2 \left( \int_{0}^{1} (5 + x - (1 - x^2)) dx + \int_{1}^{3} (5 + x - (x^2 - 1)) dx \right)$

$S = 2 \left( \int_{0}^{1} (x^2 + x + 4) dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + x + 6) dx \right)$

Вычислим каждый интеграл.

$\int_{0}^{1} (x^2 + x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 4\right) - 0 = \frac{2+3+24}{6} = \frac{29}{6}$.

$\int_{1}^{3} (-x^2 + x + 6) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{1}^{3} = \left(-\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 6\right) = \left(9 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{-2+3+36}{6}\right) = \frac{27}{2} - \frac{37}{6} = \frac{81-37}{6} = \frac{44}{6}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = 2 \left( \frac{29}{6} + \frac{44}{6} \right) = 2 \cdot \frac{73}{6} = \frac{73}{3}$.

Ответ: $\frac{73}{3}$

б) $|y| = 2x - x^2$

Данное уравнение определяет фигуру на плоскости. Так как левая часть $|y|$ всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, находим, что $x$ должен находиться в интервале $[0, 2]$. Это пределы интегрирования по оси $x$.

Уравнение $|y| = 2x - x^2$ эквивалентно двум функциям:

$y = 2x - x^2$ (верхняя граница фигуры)

$y = -(2x - x^2) = x^2 - 2x$ (нижняя граница фигуры)

Фигура симметрична относительно оси OX. Площадь $S$ можно найти как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от 0 до 2.

$S = \int_{0}^{2} \left( (2x - x^2) - (x^2 - 2x) \right) dx$

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2 - x^2 + 2x) dx$

$S = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2}$

$S = \left( 2 \cdot 2^2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3 \right) - (0) = 2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 - \frac{16}{3}$

$S = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$