Номер 269, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 269, страница 343.

Условие.

269. Воспользуйтесь результатами задачи 268 и вычислите:

a) $\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (\operatorname{tg} x + \sin x) dx;$

б) $\int_{-\pi}^{\pi} x \cos x dx.$

Решение 5.

а)Рассмотрим интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (\tan x + \sin x) dx $. Промежуток интегрирования $ [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] $ является симметричным относительно начала координат.
Подынтегральная функция $ f(x) = \tan x + \sin x $. Проверим ее на четность/нечетность. Для этого найдем $ f(-x) $:
$ f(-x) = \tan(-x) + \sin(-x) $
Так как тангенс и синус являются нечетными функциями, то есть $ \tan(-x) = -\tan x $ и $ \sin(-x) = -\sin x $, мы получаем:
$ f(-x) = -\tan x - \sin x = -(\tan x + \sin x) = -f(x) $
Поскольку $ f(-x) = -f(x) $, функция $ f(x) $ является нечетной.
Согласно свойству определенного интеграла, на которое ссылается условие задачи, интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю: $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $.
Следовательно,$ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (\tan x + \sin x) dx = 0 $.
Ответ: 0

б)Рассмотрим интеграл $ \int_{-\pi}^{\pi} x \cos x dx $. Промежуток интегрирования $ [-\pi, \pi] $ является симметричным относительно начала координат.
Подынтегральная функция $ g(x) = x \cos x $. Проверим ее на четность/нечетность. Найдем $ g(-x) $:
$ g(-x) = (-x) \cos(-x) $
Функция $ x $ является нечетной. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos x $. Произведение нечетной функции на четную является нечетной функцией.
$ g(-x) = (-x) \cos(x) = -x \cos x = -g(x) $
Поскольку $ g(-x) = -g(x) $, функция $ g(x) $ является нечетной.
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством интеграла от нечетной функции по симметричному промежутку:
$ \int_{-\pi}^{\pi} x \cos x dx = 0 $.
Ответ: 0