Номер 263, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 263, страница 343.

Условие.

263. Докажите тождество с помощью признака постоянства функции:

a) $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2};$

б) $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}.$

Решение 5.

а) Для доказательства тождества $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ воспользуемся признаком постоянства функции. Рассмотрим функцию $f(x) = \arcsin x + \arccos x$.
Область определения этой функции — отрезок $[-1, 1]$, так как это общая область определения для $\arcsin x$ и $\arccos x$.
Найдем производную функции $f(x)$ на интервале $(-1, 1)$:
$f'(x) = (\arcsin x + \arccos x)' = (\arcsin x)' + (\arccos x)'$.
Поскольку $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, получаем:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$.
Так как производная функции равна нулю для всех $x \in (-1, 1)$, функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале, то есть $f(x) = C$, где $C$ — константа.
Для нахождения значения константы $C$ вычислим значение функции в любой точке из этого интервала, например, при $x = 0$:
$C = f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, для всех $x \in (-1, 1)$ выполняется равенство $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1, 1]$, поэтому данное равенство верно и для граничных точек $x=1$ и $x=-1$.
Таким образом, тождество доказано для всех $x$ из области определения.
Ответ: Тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ доказано.

б) Для доказательства тождества $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ рассмотрим функцию $g(x) = \arctan x + \operatorname{arccot} x$.
Область определения этой функции — вся числовая прямая, $x \in (-\infty, +\infty)$, так как это общая область определения для $\arctan x$ и $\operatorname{arccot} x$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (\arctan x + \operatorname{arccot} x)' = (\arctan x)' + (\operatorname{arccot} x)'$.
Поскольку $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$ и $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, получаем:
$g'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$.
Так как производная функции равна нулю для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $g(x)$ является постоянной на всей своей области определения, то есть $g(x) = C$, где $C$ — константа.
Для нахождения значения константы $C$ вычислим значение функции в любой точке, например, при $x = 0$:
$C = g(0) = \arctan(0) + \operatorname{arccot}(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, для всех действительных $x$ выполняется равенство $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: Тождество $\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$ доказано.