Номер 258, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 258, страница 342.

Условие.

258. Пусть при движении по прямой тело массой $m$ в точке с координатой $x$ обладает потенциальной энергией $u(x)$. Докажите, что:

a) координата $x(t)$ тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению $mx''(t) = -u'(x)$;

б) потенциальная энергия $u(x)$ материальной точки массой $m$, совершающей гармоническое колебание $x'' = -\omega^2x$, равна $\frac{kx^2}{2}$, где $k = m\omega^2$ (положите $u(0) = 0$).

Решение 5.

а)

Для доказательства воспользуемся вторым законом Ньютона и определением потенциальной энергии. Второй закон Ньютона для тела массой $m$, движущегося под действием силы $F$, гласит:

$$ F = ma $$

где $a$ — ускорение тела. Ускорение является второй производной от координаты $x$ по времени $t$, то есть $a = x''(t)$. Таким образом, уравнение движения можно записать как:

$$ F = mx''(t) $$

С другой стороны, для консервативной силы (какой является сила, связанная с потенциальной энергией) сила $F$ в одномерном случае определяется как отрицательная производная от потенциальной энергии $u(x)$ по координате $x$:

$$ F(x) = -\frac{du(x)}{dx} = -u'(x) $$

Это означает, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

Приравнивая два полученных выражения для силы $F$, мы получаем искомое дифференциальное уравнение:

$$ mx''(t) = -u'(x) $$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что координата $x(t)$ тела удовлетворяет дифференциальному уравнению $mx''(t) = -u'(x)$.

б)

Используем результат, полученный в пункте а): $mx''(t) = -u'(x)$.

По условию, материальная точка совершает гармоническое колебание, уравнение которого дано как:

$$ x'' = -\omega^2x $$

Подставим это выражение для $x''$ в основное уравнение движения:

$$ m(-\omega^2x) = -u'(x) $$

Умножим обе части на $-1$:

$$ m\omega^2x = u'(x) $$

Мы получили выражение для производной потенциальной энергии. Чтобы найти саму функцию потенциальной энергии $u(x)$, необходимо проинтегрировать это выражение по переменной $x$:

$$ u(x) = \int u'(x) \, dx = \int m\omega^2x \, dx $$

Так как масса $m$ и угловая частота $\omega$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак интеграла:

$$ u(x) = m\omega^2 \int x \, dx $$

Вычисляя интеграл, получаем:

$$ u(x) = m\omega^2 \frac{x^2}{2} + C $$

где $C$ — постоянная интегрирования. Для нахождения значения $C$ воспользуемся начальным условием, данным в задаче: $u(0) = 0$. Подставим $x = 0$ в наше выражение для $u(x)$:

$$ u(0) = m\omega^2 \frac{0^2}{2} + C = C $$

Поскольку $u(0)=0$, отсюда следует, что $C=0$.

Таким образом, потенциальная энергия равна:

$$ u(x) = \frac{m\omega^2x^2}{2} $$

В условии также указано, что $k = m\omega^2$. Заменим $m\omega^2$ на $k$ в полученной формуле:

$$ u(x) = \frac{kx^2}{2} $$

Это и есть искомое выражение для потенциальной энергии, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что потенциальная энергия равна $u(x) = \frac{kx^2}{2}$.