Номер 258, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 258, страница 342.
№258 (с. 342)
Условие. №258 (с. 342)
скриншот условия

258. Пусть при движении по прямой тело массой $m$ в точке с координатой $x$ обладает потенциальной энергией $u(x)$. Докажите, что:
a) координата $x(t)$ тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению $mx''(t) = -u'(x)$;
б) потенциальная энергия $u(x)$ материальной точки массой $m$, совершающей гармоническое колебание $x'' = -\omega^2x$, равна $\frac{kx^2}{2}$, где $k = m\omega^2$ (положите $u(0) = 0$).
Решение 5. №258 (с. 342)
а)
Для доказательства воспользуемся вторым законом Ньютона и определением потенциальной энергии. Второй закон Ньютона для тела массой $m$, движущегося под действием силы $F$, гласит:
$$ F = ma $$
где $a$ — ускорение тела. Ускорение является второй производной от координаты $x$ по времени $t$, то есть $a = x''(t)$. Таким образом, уравнение движения можно записать как:
$$ F = mx''(t) $$
С другой стороны, для консервативной силы (какой является сила, связанная с потенциальной энергией) сила $F$ в одномерном случае определяется как отрицательная производная от потенциальной энергии $u(x)$ по координате $x$:
$$ F(x) = -\frac{du(x)}{dx} = -u'(x) $$
Это означает, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.
Приравнивая два полученных выражения для силы $F$, мы получаем искомое дифференциальное уравнение:
$$ mx''(t) = -u'(x) $$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что координата $x(t)$ тела удовлетворяет дифференциальному уравнению $mx''(t) = -u'(x)$.
б)
Используем результат, полученный в пункте а): $mx''(t) = -u'(x)$.
По условию, материальная точка совершает гармоническое колебание, уравнение которого дано как:
$$ x'' = -\omega^2x $$
Подставим это выражение для $x''$ в основное уравнение движения:
$$ m(-\omega^2x) = -u'(x) $$
Умножим обе части на $-1$:
$$ m\omega^2x = u'(x) $$
Мы получили выражение для производной потенциальной энергии. Чтобы найти саму функцию потенциальной энергии $u(x)$, необходимо проинтегрировать это выражение по переменной $x$:
$$ u(x) = \int u'(x) \, dx = \int m\omega^2x \, dx $$
Так как масса $m$ и угловая частота $\omega$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак интеграла:
$$ u(x) = m\omega^2 \int x \, dx $$
Вычисляя интеграл, получаем:
$$ u(x) = m\omega^2 \frac{x^2}{2} + C $$
где $C$ — постоянная интегрирования. Для нахождения значения $C$ воспользуемся начальным условием, данным в задаче: $u(0) = 0$. Подставим $x = 0$ в наше выражение для $u(x)$:
$$ u(0) = m\omega^2 \frac{0^2}{2} + C = C $$
Поскольку $u(0)=0$, отсюда следует, что $C=0$.
Таким образом, потенциальная энергия равна:
$$ u(x) = \frac{m\omega^2x^2}{2} $$
В условии также указано, что $k = m\omega^2$. Заменим $m\omega^2$ на $k$ в полученной формуле:
$$ u(x) = \frac{kx^2}{2} $$
Это и есть искомое выражение для потенциальной энергии, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что потенциальная энергия равна $u(x) = \frac{kx^2}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 258 расположенного на странице 342 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №258 (с. 342), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.