Номер 261, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 261, страница 342.

Условие.

261. Докажите, что существует решение уравнения $x'' (t) = -\omega^2x (t)$, имеющее вид $x = A \cos (\omega t + \varphi)$ и удовлетворяющее начальным условиям $x (0) = x_0, x' (0) = v_0$.

Решение 5.

Требуется доказать, что для дифференциального уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ существует решение вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$, удовлетворяющее начальным условиям $x(0) = x_0$ и $x'(0) = v_0$.

Доказательство проведем в два этапа: сначала убедимся, что функция предложенного вида является решением уравнения, а затем, используя начальные условия, покажем, что константы $A$ и $\phi$ всегда могут быть определены.

1. Проверка соответствия решения уравнению

Найдем первую и вторую производные функции $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ по времени $t$.

Первая производная (скорость): $x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \phi)) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$.

Вторая производная (ускорение): $x''(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t + \phi)) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$.

Теперь подставим $x(t)$ и $x''(t)$ в исходное дифференциальное уравнение $x''(t) = -\omega^2 x(t)$.

Левая часть уравнения: $x''(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$.

Правая часть уравнения: $-\omega^2 x(t) = -\omega^2 (A \cos(\omega t + \phi)) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi)$.

Поскольку левая и правая части тождественно равны, функция $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ является решением данного уравнения при любых постоянных $A$ и $\phi$.

2. Определение констант из начальных условий

Теперь воспользуемся начальными условиями $x(0) = x_0$ и $x'(0) = v_0$ для нахождения амплитуды $A$ и начальной фазы $\phi$.

Подставляя $t=0$ в выражения для $x(t)$ и $x'(t)$, мы связываем константы $A$ и $\phi$ с начальными условиями $x_0$ и $v_0$:

$x(0) = A \cos(\phi) = x_0$

$x'(0) = -A\omega \sin(\phi) = v_0$

Из этих двух соотношений мы получаем систему для определения $A$ и $\phi$:

$A \cos(\phi) = x_0$

$A \sin(\phi) = -\frac{v_0}{\omega}$

Для нахождения $A$, возведем оба уравнения в квадрат и сложим их:

$(A \cos(\phi))^2 + (A \sin(\phi))^2 = x_0^2 + \left(-\frac{v_0}{\omega}\right)^2$

$A^2 (\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)) = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}$

Так как $\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi) = 1$, получаем выражение для квадрата амплитуды:

$A^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}$

Поскольку амплитуда $A$ по физическому смыслу является неотрицательной величиной ($A \ge 0$), она однозначно определяется как:

$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}$

Это выражение всегда дает действительное неотрицательное число для любых действительных $x_0$, $v_0$ и $\omega \neq 0$, что доказывает существование амплитуды $A$.

Для нахождения фазы $\phi$ рассмотрим систему уравнений для ее синуса и косинуса. Если $A \neq 0$ (то есть хотя бы одно из $x_0$ или $v_0$ не равно нулю), мы можем написать:

$\cos(\phi) = \frac{x_0}{A} = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + v_0^2/\omega^2}}$

$\sin(\phi) = -\frac{v_0}{\omega A} = \frac{-v_0/\omega}{\sqrt{x_0^2 + v_0^2/\omega^2}}$

Поскольку сумма квадратов правых частей равна $\frac{x_0^2}{A^2} + \frac{v_0^2/\omega^2}{A^2} = \frac{x_0^2 + v_0^2/\omega^2}{A^2} = 1$, всегда существует угол $\phi$, удовлетворяющий этим двум условиям. Его можно найти однозначно (в пределах интервала длиной $2\pi$).

Если же $x_0=0$ и $v_0=0$, то $A=0$, и решение становится тривиальным: $x(t) = 0$. Это решение также удовлетворяет и уравнению, и начальным условиям. В этом случае фаза $\phi$ не определена, но это не влияет на решение.

Таким образом, для любых начальных условий $x_0$ и $v_0$ всегда существуют константы $A$ и $\phi$, которые определяют частное решение.

Ответ: Доказано, что функция вида $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ является решением уравнения гармонических колебаний $x''(t) = -\omega^2 x(t)$. Также показано, что для любых заданных начальных условий — начального положения $x_0$ и начальной скорости $v_0$ — всегда существуют и могут быть однозначно определены параметры этого решения: амплитуда $A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$ и начальная фаза $\phi$, удовлетворяющая системе уравнений $\cos(\phi) = x_0/A$ и $\sin(\phi) = -v_0/(\omega A)$. Это подтверждает, что искомое решение существует.