Номер 255, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 255, страница 342.

Условие.

255. Докажите, что любая первообразная нечетной непрерывной функции, определенная на $[-a; a]$, является четной функцией.

Решение 5.

Пусть $f(x)$ — нечетная непрерывная функция, определенная на симметричном отрезке $[-a, a]$, и пусть $F(x)$ — любая ее первообразная на этом отрезке.

По условию, функция $f(x)$ является нечетной, что означает $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in [-a, a]$.

По определению первообразной, производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in [-a, a]$.

Нам необходимо доказать, что функция $F(x)$ является четной, то есть что для всех $x \in [-a, a]$ выполняется равенство $F(-x) = F(x)$.

Рассмотрим вспомогательную функцию $G(x) = F(-x)$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$G'(x) = (F(-x))' = F'(-x) \cdot (-x)' = F'(-x) \cdot (-1) = -F'(-x)$.

Используя известные нам соотношения, заменим $F'(-x)$ на $f(-x)$:

$G'(x) = -f(-x)$.

Так как по условию функция $f(x)$ нечетная, то $f(-x) = -f(x)$. Подставим это в выражение для производной $G'(x)$:

$G'(x) = -(-f(x)) = f(x)$.

Таким образом, мы получили, что $G'(x) = f(x)$, и мы также знаем, что $F'(x) = f(x)$. Это означает, что производные функций $G(x)$ и $F(x)$ равны на всем отрезке $[-a, a]$.

Из следствия теоремы Лагранжа известно, что если производные двух функций равны на некотором промежутке, то эти функции отличаются на постоянную величину (константу) $C$:

$G(x) = F(x) + C$.

Подставляя обратно определение функции $G(x) = F(-x)$, получаем:

$F(-x) = F(x) + C$.

Чтобы определить значение константы $C$, воспользуемся тем, что данное равенство справедливо для любого $x$ из отрезка $[-a, a]$. Подставим в него значение $x = 0$ (которое принадлежит отрезку):

$F(-0) = F(0) + C$
$F(0) = F(0) + C$

Из последнего равенства очевидно следует, что $C = 0$.

Следовательно, $F(-x) = F(x)$ для всех $x \in [-a, a]$. Это по определению означает, что любая первообразная $F(x)$ нечетной функции $f(x)$ является четной функцией.

Ответ: Утверждение доказано.