Номер 264, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 264, страница 343.

Условие.

264. Найдите функцию y, если известно, что $y'y^2 = 2$ и $y(2) = 2$.

Решение 5.

Данное уравнение $y'y^2 = 2$ является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Запишем производную $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} y^2 = 2$

Теперь разделим переменные, умножив обе части на $dx$, чтобы сгруппировать слагаемые с $y$ и $dy$ в одной части, а с $x$ и $dx$ в другой:

$y^2 dy = 2 dx$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int y^2 dy = \int 2 dx$

Вычисление интегралов дает:

$\frac{y^3}{3} = 2x + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

Это общее решение уравнения. Для нахождения частного решения используем начальное условие $y(2) = 2$. Подставим значения $x=2$ и $y=2$ в полученное общее решение:

$\frac{2^3}{3} = 2(2) + C$

$\frac{8}{3} = 4 + C$

Найдем константу $C$:

$C = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}$

Подставим найденное значение $C = -\frac{4}{3}$ обратно в общее решение:

$\frac{y^3}{3} = 2x - \frac{4}{3}$

Теперь выразим $y$. Умножим обе части уравнения на 3:

$y^3 = 6x - 4$

Извлекая кубический корень, получаем искомую функцию:

$y = \sqrt[3]{6x - 4}$

Ответ: $y = \sqrt[3]{6x - 4}$