Номер 266, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 266, страница 343.

Условие.

266. Материальная точка движется по прямой. Докажите, что:

a) $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t) dt$, если известна ее скорость $v(t)$ в любой момент $t$ и координата точки в начальный момент $t_0$ равна $x_0$;

б) $v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t) dt$, если известно ее ускорение $a(t)$ в любой момент $t$ и скорость в начальный момент $t_0$ равна $v_0$.

Решение 5.

а) По определению, мгновенная скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$:
$v(t) = \frac{dx}{dt}$.
Это дифференциальное уравнение, которое можно переписать в виде: $dx = v(t) dt$.
Чтобы найти координату $x(t)$ в произвольный момент времени $t$, проинтегрируем это выражение. Левую часть проинтегрируем по координате от начального значения $x_0$ в момент времени $t_0$ до конечного значения $x(t)$ в момент времени $t$. Правую часть проинтегрируем по времени от $t_0$ до $t$:
$\int_{x_0}^{x(t)} dx = \int_{t_0}^{t} v(t) dt$.
Интеграл в левой части равен $x(t) - x_0$. Таким образом, получаем:
$x(t) - x_0 = \int_{t_0}^{t} v(t) dt$.
Перенося $x_0$ в правую часть, получаем искомую формулу, что и требовалось доказать:
$x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t) dt$.
Ответ: Доказано, что если $v(t) = x'(t)$, то координата $x(t)$ находится по формуле $x(t) = x(t_0) + \int_{t_0}^{t} v(t) dt$.

б) Доказательство проводится аналогично. По определению, мгновенное ускорение $a(t)$ является производной от скорости $v(t)$ по времени $t$:
$a(t) = \frac{dv}{dt}$.
Перепишем это дифференциальное уравнение в виде: $dv = a(t) dt$.
Проинтегрируем обе части. Левую часть — по скорости от начального значения $v_0$ в момент $t_0$ до конечного значения $v(t)$ в момент $t$. Правую часть — по времени от $t_0$ до $t$:
$\int_{v_0}^{v(t)} dv = \int_{t_0}^{t} a(t) dt$.
Интеграл в левой части равен $v(t) - v_0$. Следовательно:
$v(t) - v_0 = \int_{t_0}^{t} a(t) dt$.
Выражая $v(t)$, получаем доказываемую формулу:
$v(t) = v_0 + \int_{t_0}^{t} a(t) dt$.
Ответ: Доказано, что если $a(t) = v'(t)$, то скорость $v(t)$ находится по формуле $v(t) = v(t_0) + \int_{t_0}^{t} a(t) dt$.