Страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

66. Найдите значение выражения:

а) $\frac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}$;

б) $2 \log_{0,3} 3 - 2 \log_{0,3} 10$;

в) $\frac{3 \lg 2+3 \lg 5}{\lg 13-\lg 130}$;

г) $(2 \log_{12} 2 + \log_{12} 3) (2 \log_{12} 6 - \log_{12} 3)$.

а) Для решения используем свойства логарифмов: сумма логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ и вынесение показателя степени $n \log_a x = \log_a(x^n)$.
Преобразуем числитель:
$\lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg(144) = \lg(12^2) = 2 \lg 12$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3} = \frac{2 \lg 12}{\lg 12} = 2$.
Ответ: 2

б) Для решения используем свойства логарифмов: разность логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$ и основное свойство $\log_a a = 1$.
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2 \log_{0,3} 3 - 2 \log_{0,3} 10 = 2(\log_{0,3} 3 - \log_{0,3} 10)$.
Применим свойство разности логарифмов к выражению в скобках:
$2(\log_{0,3}(\frac{3}{10})) = 2 \log_{0,3}(0,3)$.
Так как $\log_a a = 1$, то $\log_{0,3}(0,3) = 1$.
Получаем:
$2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2

в) Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм (по основанию 10), т.е. $\lg x = \log_{10} x$.
Преобразуем числитель:
$3 \lg 2 + 3 \lg 5 = 3(\lg 2 + \lg 5) = 3(\lg(2 \cdot 5)) = 3 \lg 10$.
Поскольку $\lg 10 = 1$, числитель равен $3 \cdot 1 = 3$.
Преобразуем знаменатель:
$\lg 13 - \lg 130 = \lg(\frac{13}{130}) = \lg(\frac{1}{10}) = \lg(10^{-1})$.
По свойству $ \log_a(x^n) = n \log_a x $, получаем:
$-1 \cdot \lg 10 = -1 \cdot 1 = -1$.
Теперь найдём значение дроби:
$\frac{3}{-1} = -3$.
Ответ: -3

г) Упростим выражение в каждой из скобок по отдельности.
Первая скобка: $2 \log_{12} 2 + \log_{12} 3$.
Используя свойство $n \log_a x = \log_a(x^n)$, получаем:
$\log_{12}(2^2) + \log_{12} 3 = \log_{12} 4 + \log_{12} 3$.
Используя свойство $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$, получаем:
$\log_{12}(4 \cdot 3) = \log_{12} 12 = 1$.
Вторая скобка: $2 \log_{12} 6 - \log_{12} 3$.
Используя свойство $n \log_a x = \log_a(x^n)$, получаем:
$\log_{12}(6^2) - \log_{12} 3 = \log_{12} 36 - \log_{12} 3$.
Используя свойство $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$, получаем:
$\log_{12}(\frac{36}{3}) = \log_{12} 12 = 1$.
Перемножим результаты, полученные для каждой скобки:
$1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1

67. Прологарифмируйте по основанию $a$ выражение:

а) $25b^3 \sqrt[4]{c^7}$ при $a = 5$;

б) $\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}$ при $a = 0,2, b > 0, c > 0$.

а) Требуется прологарифмировать выражение $25b^3 \sqrt[4]{c^7}$ по основанию $a=5$. Это означает, что нам нужно найти значение $\log_5(25b^3 \sqrt[4]{c^7})$.

Для решения воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_k(xy) = \log_k(x) + \log_k(y)$
• Логарифм степени: $\log_k(x^p) = p\log_k(x)$

Сначала представим выражение под логарифмом как произведение трех множителей: $25$, $b^3$, и $\sqrt[4]{c^7}$.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_5(25b^3 \sqrt[4]{c^7}) = \log_5(25) + \log_5(b^3) + \log_5(\sqrt[4]{c^7})$

Теперь преобразуем каждый член суммы по отдельности:

1. Первый член: $\log_5(25)$. Так как $25 = 5^2$, то $\log_5(5^2) = 2$.

2. Второй член: $\log_5(b^3)$. По свойству логарифма степени, $\log_5(b^3) = 3\log_5(b)$.

3. Третий член: $\log_5(\sqrt[4]{c^7})$. Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[4]{c^7} = c^{7/4}$. Тогда по свойству логарифма степени, $\log_5(c^{7/4}) = \frac{7}{4}\log_5(c)$.

Собрав все преобразованные части вместе, получаем конечный результат:

$2 + 3\log_5(b) + \frac{7}{4}\log_5(c)$

Ответ: $2 + 3\log_5(b) + \frac{7}{4}\log_5(c)$

б) Требуется прологарифмировать выражение $\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}$ по основанию $a=0,2$. Условия $b > 0, c > 0$ гарантируют, что выражения под логарифмами будут положительными.

Нам нужно найти значение $\log_{0,2}\left(\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}\right)$.

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов:

• Логарифм частного: $\log_k(x/y) = \log_k(x) - \log_k(y)$
• Логарифм произведения: $\log_k(xy) = \log_k(x) + \log_k(y)$
• Логарифм степени: $\log_k(x^p) = p\log_k(x)$

Применим свойство логарифма частного:

$\log_{0,2}\left(\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}\right) = \log_{0,2}(0,0016 b^4) - \log_{0,2}(c \sqrt[7]{c^2})$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Для числителя $\log_{0,2}(0,0016 b^4)$ применим свойство логарифма произведения:

$\log_{0,2}(0,0016) + \log_{0,2}(b^4)$

Вычислим $\log_{0,2}(0,0016)$. Основание логарифма $a = 0,2 = \frac{1}{5}$. Аргумент $0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4 = (0,2)^4$. Значит, $\log_{0,2}((0,2)^4) = 4$.

Второй член $\log_{0,2}(b^4)$ по свойству степени равен $4\log_{0,2}(b)$.

Таким образом, логарифм числителя равен $4 + 4\log_{0,2}(b)$.

Для знаменателя $\log_{0,2}(c \sqrt[7]{c^2})$ сначала упростим выражение под логарифмом: $c \sqrt[7]{c^2} = c^1 \cdot c^{2/7} = c^{1+\frac{2}{7}} = c^{9/7}$.

Тогда $\log_{0,2}(c^{9/7}) = \frac{9}{7}\log_{0,2}(c)$ по свойству логарифма степени.

Теперь объединим результаты, вычитая логарифм знаменателя из логарифма числителя:

$(4 + 4\log_{0,2}(b)) - \frac{9}{7}\log_{0,2}(c)$

Ответ: $4 + 4\log_{0,2}(b) - \frac{9}{7}\log_{0,2}(c)$

68. Найдите $x$, если:

a) $\log_4 x = 2 \log_4 10 + \frac{3}{4} \log_4 81 - \frac{2}{3} \log_4 125;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 16 - \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 28.$

а) Дано уравнение: $ \log_{4} x = 2 \log_{4} 10 + \frac{3}{4} \log_{4} 81 - \frac{2}{3} \log_{4} 125 $.
Для решения используем свойства логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $ k \log_{a} b = \log_{a} (b^k) $ к каждому слагаемому в правой части уравнения:
$ 2 \log_{4} 10 = \log_{4} (10^2) = \log_{4} 100 $
$ \frac{3}{4} \log_{4} 81 = \log_{4} (81^{\frac{3}{4}}) = \log_{4} ( (3^4)^{\frac{3}{4}} ) = \log_{4} (3^3) = \log_{4} 27 $
$ \frac{2}{3} \log_{4} 125 = \log_{4} (125^{\frac{2}{3}}) = \log_{4} ( (5^3)^{\frac{2}{3}} ) = \log_{4} (5^2) = \log_{4} 25 $
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$ \log_{4} x = \log_{4} 100 + \log_{4} 27 - \log_{4} 25 $
Далее воспользуемся свойствами суммы и разности логарифмов: $ \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a}(b \cdot c) $ и $ \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a}(\frac{b}{c}) $.
$ \log_{4} x = \log_{4}(100 \cdot 27) - \log_{4} 25 = \log_{4}\left(\frac{100 \cdot 27}{25}\right) $
Вычислим значение выражения под знаком логарифма:
$ \frac{100 \cdot 27}{25} = 4 \cdot 27 = 108 $
Таким образом, мы получаем уравнение:
$ \log_{4} x = \log_{4} 108 $
Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то и их аргументы должны быть равны.
$ x = 108 $
Ответ: 108.

б) Дано уравнение: $ \log_{\frac{1}{3}} x = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 16 - \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 28 $.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов.
Применим свойство степени логарифма $ k \log_{a} b = \log_{a} (b^k) $:
$ \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 16 = \log_{\frac{1}{3}}(16^{\frac{1}{2}}) = \log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{16}) = \log_{\frac{1}{3}} 4 $
Подставим это в уравнение:
$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 - \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 28 $
Теперь используем свойства разности и суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{4}{8}\right) + \log_{\frac{1}{3}} 28 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{4}{8} \cdot 28\right) $
Вычислим значение выражения в скобках:
$ \frac{4}{8} \cdot 28 = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 $
Получаем уравнение:
$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 14 $
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x = 14 $
Ответ: 14.

69. Вычислите при помощи таблиц:

а) $ \frac{7,832 \cdot \sqrt[4]{12,98}}{5,256^2} $;

б) $ \frac{102,3^2}{\sqrt[3]{92,14} \cdot 6,341} $.

Обозначим искомое выражение через $A$:
$A = \frac{7,832 \cdot \sqrt[4]{12,98}}{5,256^2}$

Для вычисления воспользуемся логарифмами. Прологарифмируем выражение по основанию 10:

$\lg A = \lg \left( \frac{7,832 \cdot \sqrt[4]{12,98}}{5,256^2} \right)$

Используя свойства логарифмов ($\lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b$, $\lg(a/b) = \lg a - \lg b$, $\lg(a^n) = n \lg a$), получаем:

$\lg A = \lg(7,832) + \lg(\sqrt[4]{12,98}) - \lg(5,256^2)$
$\lg A = \lg(7,832) + \frac{1}{4}\lg(12,98) - 2\lg(5,256)$

Найдем значения логарифмов, используя таблицы логарифмов (например, таблицы Брадиса) или калькулятор:

$\lg(7,832) \approx 0,8939$
$\lg(12,98) \approx 1,1133$
$\lg(5,256) \approx 0,7207$

Подставим эти значения в формулу для $\lg A$:

$\lg A \approx 0,8939 + \frac{1}{4} \cdot 1,1133 - 2 \cdot 0,7207$
$\lg A \approx 0,8939 + 0,2783 - 1,4414$
$\lg A \approx 1,1722 - 1,4414 = -0,2692$

Для нахождения $A$ необходимо найти антилогарифм. Представим $\lg A$ в стандартной форме с положительной мантиссой:

$\lg A = -0,2692 = -1 + (1 - 0,2692) = -1 + 0,7308 = \bar{1},7308$

Характеристика логарифма равна -1, мантисса равна 0,7308. По таблицам антилогарифмов (или по таблицам логарифмов в обратном порядке) находим число, мантисса логарифма которого равна 0,7308. Это число примерно 5,38.
$10^{0,7308} \approx 5,38$

Учитывая характеристику -1, получаем:

$A \approx 5,38 \cdot 10^{-1} = 0,538$

Ответ: $0,538$.

Обозначим искомое выражение через $B$:

$B = \frac{102,3^2}{\sqrt[3]{92,14 \cdot 6,341}}$

Прологарифмируем выражение по основанию 10:

$\lg B = \lg \left( \frac{102,3^2}{\sqrt[3]{92,14 \cdot 6,341}} \right)$

Используя свойства логарифмов, получаем:

$\lg B = \lg(102,3^2) - \lg(\sqrt[3]{92,14 \cdot 6,341})$
$\lg B = 2\lg(102,3) - \frac{1}{3}(\lg(92,14) + \lg(6,341))$

Найдем значения логарифмов, используя таблицы логарифмов или калькулятор:

$\lg(102,3) \approx 2,0099$
$\lg(92,14) \approx 1,9645$
$\lg(6,341) \approx 0,8022$

Подставим эти значения в формулу для $\lg B$:

$\lg B \approx 2 \cdot 2,0099 - \frac{1}{3}(1,9645 + 0,8022)$
$\lg B \approx 4,0198 - \frac{1}{3}(2,7667)$
$\lg B \approx 4,0198 - 0,9222$
$\lg B \approx 3,0976$

Для нахождения $B$ необходимо найти антилогарифм. Характеристика логарифма равна 3, мантисса равна 0,0976. По таблицам антилогарифмов находим число, мантисса логарифма которого равна 0,0976. Это число примерно 1,252.
$10^{0,0976} \approx 1,252$

Учитывая характеристику 3, получаем:

$B \approx 1,252 \cdot 10^3 = 1252$

Ответ: $1252$.

70. Упростите и найдите приближенное значение выражения

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \dots \log_{10} 9.$

Для решения данной задачи мы сначала упростим выражение, а затем найдем его приближенное значение.

Исходное выражение представляет собой произведение логарифмов:

$log_3 2 \cdot log_4 3 \cdot log_5 4 \cdot log_6 5 \cdot \ldots \cdot log_{10} 9$

Для упрощения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. Мы можем выбрать любое удобное основание $c$, например, основание 10 (десятичный логарифм) или основание $e$ (натуральный логарифм). Перейдем к натуральному логарифму ($\ln$).

Представим каждый член произведения в виде дроби:

$\log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3}$

$\log_4 3 = \frac{\ln 3}{\ln 4}$

$\log_5 4 = \frac{\ln 4}{\ln 5}$

... и так далее.

Полностью расписанное выражение выглядит так:

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \cdot \log_9 8 \cdot \log_{10} 9$

Теперь подставим дроби с натуральными логарифмами в это произведение:

$\frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 5} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 6} \cdot \frac{\ln 6}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln 8} \cdot \frac{\ln 8}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 10}$

В этом произведении числитель каждой дроби (кроме последней) сокращается со знаменателем следующей дроби. Этот эффект называется телескопическим сокращением.

$\frac{\ln 2}{\cancel{\ln 3}} \cdot \frac{\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \frac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 5}} \cdot \frac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 6}} \cdot \frac{\cancel{\ln 6}}{\cancel{\ln 7}} \cdot \frac{\cancel{\ln 7}}{\cancel{\ln 8}} \cdot \frac{\cancel{\ln 8}}{\cancel{\ln 9}} \cdot \frac{\cancel{\ln 9}}{\ln 10}$

После сокращения всех промежуточных членов в выражении остаются только числитель первой дроби и знаменатель последней:

$\frac{\ln 2}{\ln 10}$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, мы можем записать этот результат как логарифм по основанию 10:

$\frac{\ln 2}{\ln 10} = \log_{10} 2$

Таким образом, мы упростили исходное выражение до $\log_{10} 2$ (также обозначается как $\lg 2$).

Теперь найдем приближенное значение этого выражения. Значение десятичного логарифма от 2 является известной математической константой.

$\log_{10} 2 \approx 0.30103$

Обычно для расчетов используют значение, округленное до трех знаков после запятой:

$\log_{10} 2 \approx 0.301$

Ответ: Упрощенное выражение: $\log_{10} 2$. Приближенное значение: $\approx 0.301$.

71. Известно, что $\log_{2}(\sqrt{3} + 1) + \log_{2}(\sqrt{6} - 2) = A$.

Найдите сумму $\log_{2}(\sqrt{3} - 1) + \log_{2}(\sqrt{6} + 2)$.

Пусть искомая сумма равна $X$. Таким образом, мы имеем два равенства:
$A = \log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{6} - 2)$ (согласно условию)
$X = \log_2(\sqrt{3} - 1) + \log_2(\sqrt{6} + 2)$ (искомое выражение)

Сложим левые и правые части этих равенств:
$A + X = (\log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{6} - 2)) + (\log_2(\sqrt{3} - 1) + \log_2(\sqrt{6} + 2))$

Сгруппируем слагаемые в правой части для удобства вычислений:
$A + X = [\log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{3} - 1)] + [\log_2(\sqrt{6} - 2) + \log_2(\sqrt{6} + 2)]$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(mn)$.

Вычислим значение первой группы слагаемых, применив также формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{3} - 1) = \log_2((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)) = \log_2((\sqrt{3})^2 - 1^2) = \log_2(3 - 1) = \log_2(2) = 1$.

Аналогично вычислим значение второй группы слагаемых:
$\log_2(\sqrt{6} - 2) + \log_2(\sqrt{6} + 2) = \log_2((\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)) = \log_2((\sqrt{6})^2 - 2^2) = \log_2(6 - 4) = \log_2(2) = 1$.

Теперь подставим вычисленные значения обратно в сумму $A+X$:
$A + X = 1 + 1$
$A + X = 2$

Из полученного уравнения выразим искомую величину $X$:
$X = 2 - A$

Ответ: $2 - A$.

72. Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, угол при основании 30°. Задайте формулой:

a) площадь трапеции как функцию боковой стороны;

б) периметр трапеции как функцию ее высоты.

а) площадь трапеции как функцию боковой стороны;
Пусть боковая сторона равнобедренной трапеции равна $c$. По условию, одно из оснований также равно $c$. Угол при основании равен $30^{\circ}$, это острый угол, следовательно, он прилежит к большему основанию. Если предположить, что большее основание равно боковой стороне, то это приведет к геометрическому противоречию (проекция боковой стороны на основание окажется отрицательной). Значит, меньшее основание равно боковой стороне. Обозначим меньшее основание как $a$ и большее как $b$. Таким образом, $a = c$.
Опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна боковой стороне $c$, а один из острых углов равен $30^{\circ}$.
Высота трапеции $h$ является катетом, противолежащим углу $30^{\circ}$: $h = c \cdot \sin(30^{\circ}) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$.
Проекция боковой стороны на большее основание $x$ является катетом, прилежащим к углу $30^{\circ}$: $x = c \cdot \cos(30^{\circ}) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Большее основание $b$ равно сумме меньшего основания и двух таких проекций: $b = a + 2x = c + 2 \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = c + c\sqrt{3} = c(1+\sqrt{3})$.
Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим найденные выражения для $a, b$ и $h$ через $c$:
$S(c) = \frac{c + c(1+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c(1+1+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c(2+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$.
Ответ: $S(c) = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$

б) периметр трапеции как функцию ее высоты.
Необходимо выразить периметр $P$ через высоту трапеции $h$.
Из пункта а) мы имеем соотношение между высотой и боковой стороной: $h = \frac{c}{2}$. Отсюда выразим боковую сторону $c$ через высоту $h$: $c = 2h$.
Теперь выразим все стороны трапеции через $h$:

• Боковые стороны равны $c = 2h$.
• Меньшее основание $a = c = 2h$.
• Большее основание $b = c(1+\sqrt{3}) = 2h(1+\sqrt{3})$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + 2c$.
Подставим выражения для сторон через $h$:
$P(h) = 2h + 2h(1+\sqrt{3}) + 2 \cdot (2h) = 2h + 2h + 2h\sqrt{3} + 4h = 8h + 2h\sqrt{3} = 2h(4+\sqrt{3})$.
Ответ: $P(h) = 2h(4+\sqrt{3})$

73. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания. Задайте формулой:

a) объем призмы как функцию стороны основания;

б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

а) объем призмы как функцию стороны основания;

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$. По условию, боковое ребро призмы, которое также является ее высотой $h$, равно стороне основания. Таким образом, $h = a$.
Объем призмы $V$ вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.
В основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим выражения для $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема:
$V(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $V(a) = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота.
Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 3a$.
Так как высота $h = a$, получаем формулу площади боковой поверхности как функцию от стороны основания $a$:
$S_{бок}(a) = 3a \cdot a = 3a^2$
Чтобы выразить $S_{бок}$ как функцию объема $V$, нужно исключить переменную $a$ из этого уравнения, используя формулу для объема, полученную в пункте а):
$V = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
Из этой формулы выразим $a^3$:
$a^3 = \frac{4V}{\sqrt{3}}$
Теперь найдем способ связать $a^2$ (из формулы $S_{бок}$) и $a^3$ (из формулы $V$). Для этого возведем обе формулы в подходящие степени, чтобы получить одинаковую степень у $a$. Возведем формулу для $S_{бок}$ в куб, а формулу для $V$ в квадрат:
$S_{бок}^3 = (3a^2)^3 = 27a^6$
$V^2 = \left(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^6 \cdot 3}{16}$
Из второго уравнения выразим $a^6$:
$a^6 = \frac{16V^2}{3}$
Подставим это выражение для $a^6$ в первое уравнение:
$S_{бок}^3 = 27 \cdot \left(\frac{16V^2}{3}\right) = 9 \cdot 16V^2 = 144V^2$
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы выразить $S_{бок}$:
$S_{бок}(V) = \sqrt[3]{144V^2}$
Формулу можно также упростить: $\sqrt[3]{144V^2} = \sqrt[3]{8 \cdot 18 \cdot V^2} = 2\sqrt[3]{18V^2}$.

Ответ: $S_{бок}(V) = \sqrt[3]{144V^2}$ или $S_{бок}(V) = 2\sqrt[3]{18V^2}$

74. Материальная точка, двигаясь прямолинейно, совершает гармонические колебания. Задайте формулой:

а) координату точки как функцию времени;

б) скорость точки как функцию времени.

а) координату точки как функцию времени;

Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина (в данном случае координата точки) изменяется со временем по синусоидальному закону. Общее уравнение, описывающее прямолинейные гармонические колебания, можно записать с помощью функции косинуса (или синуса).

Формула координаты $x$ как функции времени $t$ выглядит следующим образом:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

В этой формуле:
$A$ — это амплитуда колебаний, то есть максимальное отклонение точки от положения равновесия. Амплитуда всегда является положительной величиной ($A > 0$).
$\omega$ — это циклическая (или круговая) частота. Она характеризует скорость изменения фазы колебаний и связана с периодом колебаний $T$ (время одного полного колебания) и частотой $\nu$ (количество колебаний в единицу времени) соотношениями: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$. Измеряется в радианах в секунду (рад/с).
$\phi_0$ — это начальная фаза колебаний. Она определяет значение координаты в начальный момент времени ($t=0$).
$(\omega t + \phi_0)$ — это фаза колебаний в момент времени $t$. Она определяет состояние колебательной системы (координату и скорость) в любой момент времени.

Ответ: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

б) скорость точки как функцию времени.

Скорость материальной точки при прямолинейном движении — это первая производная ее координаты по времени. Чтобы найти формулу для скорости $v(t)$, необходимо продифференцировать по времени $t$ функцию координаты $x(t)$, полученную в пункте а).

Исходная функция координаты:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

Находим производную:
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \phi_0))$

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$v(t) = A \cdot (-\sin(\omega t + \phi_0)) \cdot \frac{d}{dt}(\omega t + \phi_0)$
$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Эта формула показывает, что скорость точки также изменяется по гармоническому закону. Амплитуда скорости равна $v_{max} = A\omega$. Знак "минус" и функция синуса указывают на то, что колебания скорости опережают колебания координаты по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°). Скорость достигает максимального значения, когда точка проходит положение равновесия ($x=0$), и становится равной нулю в точках максимального отклонения ($x = \pm A$).

Ответ: $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$