Страница 279 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

20. Докажите рациональность числа:

а) $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2\sqrt{6}; $

б) $ (\sqrt{2} + 1)^2 + (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1); $

в) $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \sqrt{35}; $

г) $ (3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50}) : \sqrt{2}. $

а) $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2\sqrt{6} $

Для доказательства рациональности числа, необходимо его упростить. Начнем с первого слагаемого. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{3} + \sqrt{2} $:

$ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} $

Применим формулы квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ и разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{3 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 + 2\sqrt{6} $

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ (5 + 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 5 $

Результат равен 5. Число 5 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{5}{1} $. Таким образом, рациональность числа доказана.

Ответ: 5.

б) $ (\sqrt{2} + 1)^2 + (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) $

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $ и разность квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $.

Первое слагаемое: $ (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $.

Второе слагаемое: $ (1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} $.

Третье слагаемое: $ (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6 $.

Теперь сложим и вычтем полученные результаты:

$ (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) - 6 = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 6 = (3+3-6) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 0 $

Результат равен 0. Число 0 является целым, а следовательно, и рациональным числом (можно представить как $ \frac{0}{1} $). Рациональность доказана.

Ответ: 0.

в) $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \sqrt{35} $

Для упрощения выражения сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $:

$ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Используя формулы квадрата суммы и разности квадратов, получим:

$ \frac{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} $

Разделим числитель на 2:

$ \frac{2(6 + \sqrt{35})}{2} = 6 + \sqrt{35} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ (6 + \sqrt{35}) - \sqrt{35} = 6 + \sqrt{35} - \sqrt{35} = 6 $

Результат равен 6. Это целое число, которое является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{6}{1} $. Рациональность числа доказана.

Ответ: 6.

г) $ (3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50}) : \sqrt{2} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множители из-под знака корня:

$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $

$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $

Подставим упрощенные корни обратно в выражение в скобках:

$ 3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50} = 3(3\sqrt{2}) + 2(2\sqrt{2}) + 4(5\sqrt{2}) = 9\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 20\sqrt{2} $

Сложим подобные слагаемые:

$ (9 + 4 + 20)\sqrt{2} = 33\sqrt{2} $

Теперь выполним деление на $ \sqrt{2} $:

$ (33\sqrt{2}) : \sqrt{2} = \frac{33\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 33 $

Результат равен 33. Это целое число, следовательно, оно является рациональным ($ 33 = \frac{33}{1} $). Рациональность числа доказана.

Ответ: 33.

21. Найдите число $x$, если:

а) $x$ составляет $2,5\%$ от 320;

б) $2,5\%$ числа $x$ равны 75;

в) $x$ равен числу процентов, которое составляет 2,8 от 84;

г) $x$ составляет $140\%$ от 35.

а) Чтобы найти $x$, нужно вычислить $2,5\%$ от числа $320$. Для этого переведем проценты в десятичную дробь и умножим на число.
$2,5\% = \frac{2,5}{100} = 0,025$
$x = 320 \times 0,025 = 8$
Ответ: $8$.

б) По условию, $2,5\%$ от числа $x$ равны $75$. Это можно записать как уравнение, где $2,5\%$ выражены десятичной дробью $0,025$.
$0,025 \times x = 75$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,025$:
$x = \frac{75}{0,025} = \frac{75000}{25} = 3000$
Ответ: $3000$.

в) По условию, $x$ равен числу процентов, которое составляет $2,8$ от $84$. Чтобы найти это число процентов, нужно разделить $2,8$ на $84$ и умножить результат на $100$.
$x = \frac{2,8}{84} \times 100$
$x = \frac{280}{84}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен $28$:
$x = \frac{280 \div 28}{84 \div 28} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
Ответ: $3\frac{1}{3}$.

г) Чтобы найти $x$, нужно вычислить $140\%$ от числа $35$. Переведем проценты в десятичную дробь и умножим на число.
$140\% = \frac{140}{100} = 1,4$
$x = 35 \times 1,4 = 49$
Ответ: $49$.

22. За 1987 г. выпуск предприятием продукции возрос на 4%, а за следующий год — на 8%. Найдите средний ежегодный прирост продукции за двухлетний период.

Пусть первоначальный объем выпуска продукции составляет $A$ условных единиц.

В 1987 году выпуск продукции возрос на 4%. Это означает, что объем продукции составил $100\% + 4\% = 104\%$ от первоначального. Новый объем можно найти, умножив первоначальный на коэффициент роста 1.04.
Объем продукции в конце 1987 года: $A_1 = A \cdot (1 + \frac{4}{100}) = 1.04A$.

В следующем, 1988 году, выпуск продукции возрос на 8% по сравнению с уровнем 1987 года. Коэффициент роста для этого года составляет $1 + \frac{8}{100} = 1.08$. Увеличение рассчитывается от новой базы $A_1$.
Объем продукции в конце 1988 года: $A_2 = A_1 \cdot 1.08 = (1.04A) \cdot 1.08 = 1.1232A$.

Таким образом, общий коэффициент роста за два года составил $1.04 \cdot 1.08 = 1.1232$.

Теперь найдем средний ежегодный прирост. Пусть искомый средний ежегодный прирост равен $p \%$. Тогда средний ежегодный коэффициент роста $k$ будет равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Если бы продукция росла каждый год на $p\%$, то за два года ее объем составил бы $A_2 = A \cdot k \cdot k = A \cdot k^2$.

Чтобы найти средний ежегодный прирост, нужно приравнять итоговые объемы продукции, вычисленные двумя способами:
$A \cdot k^2 = 1.1232A$

Разделив обе части уравнения на $A$ (так как $A \neq 0$), получим:
$k^2 = 1.1232$

Отсюда находим средний ежегодный коэффициент роста $k$:
$k = \sqrt{1.1232}$

Теперь, зная $k$, найдем средний ежегодный прирост $p$ в процентах из формулы $p = (k - 1) \cdot 100$:
$p = (\sqrt{1.1232} - 1) \cdot 100$

Вычислим приближенное значение.
$k = \sqrt{1.1232} \approx 1.0598113$
$p \approx (1.0598113 - 1) \cdot 100 \approx 5.98113\%$

Округлив результат до сотых, получим $5.98\%$.

Ответ: $(\sqrt{1.1232} - 1) \cdot 100\% \approx 5.98\%$.

23. Из данных четырех чисел первые три пропорциональны числам 5, 3, 20, а четвертое число составляет 15% третьего. Найдите эти числа, если второе число на 375 меньше суммы остальных.

Обозначим искомые четыре числа как $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$.

По условию, первые три числа пропорциональны числам 5, 3, 20. Это означает, что существует коэффициент пропорциональности $k$, такой что:$a_1 = 5k$, $a_2 = 3k$, $a_3 = 20k$.

Четвертое число $a_4$ составляет 15% от третьего числа $a_3$. Выразим $a_4$ через $k$, предварительно переведя проценты в десятичную дробь ($15\% = 0.15$):$a_4 = 0.15 \cdot a_3 = 0.15 \cdot (20k) = 3k$.

Также известно, что второе число $a_2$ на 375 меньше суммы остальных трех чисел ($a_1, a_3, a_4$). Составим уравнение на основе этого условия:$a_2 = (a_1 + a_3 + a_4) - 375$.

Теперь подставим в это уравнение выражения для чисел через коэффициент $k$:$3k = (5k + 20k + 3k) - 375$.

Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $k$:$3k = 28k - 375$$28k - 3k = 375$$25k = 375$$k = \frac{375}{25}$$k = 15$.

Зная коэффициент пропорциональности $k=15$, найдем искомые числа, подставив его значение в наши выражения:Первое число: $a_1 = 5k = 5 \cdot 15 = 75$.Второе число: $a_2 = 3k = 3 \cdot 15 = 45$.Третье число: $a_3 = 20k = 20 \cdot 15 = 300$.Четвертое число: $a_4 = 3k = 3 \cdot 15 = 45$.

Ответ: 75, 45, 300, 45.

24. За осенне-зимний период цена на овощи возросла на 25%. На сколько процентов следует снизить цену весной, чтобы летом овощи имели прежнюю цену?

Обозначим первоначальную цену овощей как $P_0$.

За осенне-зимний период цена возросла на 25%. Это означает, что новая цена, назовем ее $P_1$, стала на 25% больше первоначальной. Рассчитаем новую цену:
$P_1 = P_0 + 0.25 \times P_0 = P_0 \times (1 + 0.25) = 1.25 P_0$

Теперь нам нужно найти, на сколько процентов ($x$) следует снизить новую цену $P_1$, чтобы вернуться к первоначальной цене $P_0$. Важно отметить, что процент снижения будет рассчитываться от новой, более высокой цены $P_1$.

Цена после снижения, $P_2$, должна быть равна $P_0$. Формула для цены после снижения выглядит так:
$P_2 = P_1 - \frac{x}{100} \times P_1 = P_1 \times (1 - \frac{x}{100})$

Приравняем $P_2$ к $P_0$ и подставим выражение для $P_1$:
$P_0 = P_2$
$P_0 = 1.25 P_0 \times (1 - \frac{x}{100})$

Поскольку первоначальная цена $P_0$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $P_0$:
$1 = 1.25 \times (1 - \frac{x}{100})$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$1 - \frac{x}{100} = \frac{1}{1.25}$
Чтобы упростить дробь, представим $1.25$ как $\frac{5}{4}$. Тогда $\frac{1}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$1 - \frac{x}{100} = 0.8$

Выразим $\frac{x}{100}$:
$\frac{x}{100} = 1 - 0.8$
$\frac{x}{100} = 0.2$

Отсюда находим $x$:
$x = 0.2 \times 100 = 20$

Таким образом, чтобы цена вернулась к первоначальному значению, ее необходимо снизить на 20%.

Ответ: на 20%.

25. Найдите неизвестный член пропорции:

а) $12 : \frac{1}{8} = x : \frac{5}{36}$;

б) $x : (-0,3) = 0,15 : 1,5$;

в) $\frac{0,13}{x} = \frac{26}{3\frac{1}{3}}>;

г) $\frac{x}{2,5} = \frac{-6,2}{15}$.

а) $12 : \frac{1}{8} = x : \frac{5}{36}$

Это пропорция вида $a : b = c : d$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

В данном случае крайние члены – это $12$ и $\frac{5}{36}$, а средние члены – это $\frac{1}{8}$ и $x$.

Применим основное свойство пропорции, чтобы составить уравнение:

$x \cdot \frac{1}{8} = 12 \cdot \frac{5}{36}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала упростим правую часть:

$12 \cdot \frac{5}{36} = \frac{12 \cdot 5}{36} = \frac{1 \cdot 5}{3} = \frac{5}{3}$

Наше уравнение принимает вид:

$\frac{x}{8} = \frac{5}{3}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{5}{3} \cdot 8 = \frac{40}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$x = 13\frac{1}{3}$

Ответ: $13\frac{1}{3}$

б) $x : (-0,3) = 0,15 : 1,5$

Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Крайние члены: $x$ и $1,5$. Средние члены: $(-0,3)$ и $0,15$.

Составим уравнение:

$x \cdot 1,5 = (-0,3) \cdot 0,15$

Вычислим произведение в правой части:

$(-0,3) \cdot 0,15 = -0,045$

Уравнение принимает вид:

$1,5x = -0,045$

Разделим обе части на $1,5$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-0,045}{1,5}$

Чтобы упростить деление, можно избавиться от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 1000:

$x = \frac{-0,045 \cdot 1000}{1,5 \cdot 1000} = \frac{-45}{1500}$

Сократим полученную дробь на 15:

$x = -\frac{45 : 15}{1500 : 15} = -\frac{3}{100} = -0,03$

Ответ: $-0,03$

в) $\frac{0,13}{x} = \frac{26}{3\frac{1}{3}}$

Эта пропорция записана в виде равенства двух дробей. Можно использовать правило "крест-накрест" (которое является следствием основного свойства пропорции): произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.

$0,13 \cdot 3\frac{1}{3} = x \cdot 26$

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$0,13 = \frac{13}{100}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{13}{100} \cdot \frac{10}{3} = 26x$

Выполним умножение в левой части:

$\frac{13 \cdot 10}{100 \cdot 3} = \frac{130}{300} = \frac{13}{30}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{13}{30} = 26x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 26:

$x = \frac{13}{30} : 26 = \frac{13}{30 \cdot 26}$

Сократим дробь на 13:

$x = \frac{1}{30 \cdot 2} = \frac{1}{60}$

Ответ: $\frac{1}{60}$

г) $\frac{x}{2,5} = \frac{-6,2}{15}$

Используем правило "крест-накрест" для решения пропорции:

$x \cdot 15 = 2,5 \cdot (-6,2)$

Вычислим произведение в правой части:

$2,5 \cdot (-6,2) = -15,5$

Получаем уравнение:

$15x = -15,5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 15:

$x = \frac{-15,5}{15}$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе:

$x = \frac{-15,5 \cdot 10}{15 \cdot 10} = \frac{-155}{150}$

Сократим полученную дробь на 5:

$x = -\frac{155 : 5}{150 : 5} = -\frac{31}{30}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа:

$x = -1\frac{1}{30}$

Ответ: $-1\frac{1}{30}$

26. Решите уравнение:

а) $\frac{x-2}{2,5} = \frac{6}{x}$;

б) $\frac{x}{x+5} = \frac{4,8}{1,2}$;

в) $\frac{x-3}{x-2} = \frac{6,5}{1,5}$;

г) $\frac{4-x}{1,2} = \frac{5}{x+3}$.

а) Дано уравнение: $ \frac{x-2}{2.5} = \frac{6}{x} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ x \cdot (x-2) = 2.5 \cdot 6 $
$ x^2 - 2x = 15 $
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $
Найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $
Оба корня (5 и -3) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $-3; 5$.

б) Дано уравнение: $ \frac{x}{x+5} = \frac{4.8}{1.2} $.
ОДЗ: $x+5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.
Сначала упростим правую часть уравнения:
$ \frac{4.8}{1.2} = \frac{48}{12} = 4 $
Теперь уравнение имеет вид:
$ \frac{x}{x+5} = 4 $
Умножим обе части на $(x+5)$:
$ x = 4(x+5) $
$ x = 4x + 20 $
$ x - 4x = 20 $
$ -3x = 20 $
$ x = -\frac{20}{3} $
Полученный корень не равен -5, значит, он удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{20}{3}$.

в) Дано уравнение: $ \frac{x-3}{x-2} = \frac{6.5}{1.5} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Упростим правую часть уравнения. Умножим числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим:
$ \frac{6.5}{1.5} = \frac{65}{15} = \frac{13 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{13}{3} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{x-3}{x-2} = \frac{13}{3} $
Применим свойство пропорции:
$ 3(x-3) = 13(x-2) $
$ 3x - 9 = 13x - 26 $
$ 26 - 9 = 13x - 3x $
$ 17 = 10x $
$ x = \frac{17}{10} = 1.7 $
Корень $x=1.7$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $1.7$.

г) Дано уравнение: $ \frac{4-x}{1.2} = \frac{5}{x+3} $.
ОДЗ: $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.
Применим свойство пропорции:
$ (4-x)(x+3) = 1.2 \cdot 5 $
$ (4-x)(x+3) = 6 $
Раскроем скобки в левой части:
$ 4x + 12 - x^2 - 3x = 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -x^2 + x + 12 = 6 $
Перенесем все в левую часть:
$ -x^2 + x + 12 - 6 = 0 $
$ -x^2 + x + 6 = 0 $
Умножим уравнение на -1 для удобства решения:
$ x^2 - x - 6 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $
Найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $
$ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
Оба корня (3 и -2) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: $-2; 3$.

27. Через точку $E$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Найдите:

а) отрезки, на которые прямая делит сторону $BC$, если $AB = 22,5$ см, $AE = 18$ см, $BC = 15$ см;

б) площади фигур, на которые делится треугольник $ABC$, если $AB = 7,5$ см, $AE = 5$ см, а площадь треугольника $ABC$ равна $72$ см$^2$.

Пусть в треугольнике $ABC$ через точку $E$ на стороне $AB$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной $BC$ как $F$. Таким образом, у нас есть прямая $EF$, такая что $E \in AB$, $F \in BC$ и $EF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBF$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Поскольку $EF \parallel AC$, углы $\angle BEF$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $EF$, $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle EBF \sim \triangle ABC$) по двум углам.

а) отрезки, на которые прямая делит сторону BC, если AB = 22,5 см, AE = 18 см, BC = 15 см;

Прямая $EF$ делит сторону $BC$ на отрезки $BF$ и $FC$. Нам необходимо найти их длины.

Сначала найдем длину отрезка $BE$:
$BE = AB - AE = 22,5 - 18 = 4,5$ см.

Из подобия треугольников $\triangle EBF \sim \triangle ABC$ следует, что их стороны пропорциональны: $$ \frac{BE}{AB} = \frac{BF}{BC} $$ Подставим известные значения в пропорцию: $$ \frac{4,5}{22,5} = \frac{BF}{15} $$ Теперь найдем длину отрезка $BF$: $$ BF = 15 \cdot \frac{4,5}{22,5} = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3 \text{ см} $$ Длина второго отрезка $FC$ равна разности длин $BC$ и $BF$: $$ FC = BC - BF = 15 - 3 = 12 \text{ см} $$

Ответ: 3 см и 12 см.

б) площади фигур, на которые делится треугольник ABC, если AB = 7,5 см, AE = 5 см, а площадь треугольника ABC равна 72 см².

Прямая $EF$ делит треугольник $ABC$ на две фигуры: меньший треугольник $EBF$ и трапецию $ACFE$. Нам нужно найти площади этих двух фигур.

Сначала найдем длину отрезка $BE$:
$BE = AB - AE = 7,5 - 5 = 2,5$ см.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Найдем коэффициент подобия: $$ k = \frac{BE}{AB} = \frac{2,5}{7,5} = \frac{1}{3} $$ Теперь найдем отношение площадей: $$ \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$ Зная площадь треугольника $ABC$, мы можем найти площадь треугольника $EBF$: $$ S_{EBF} = S_{ABC} \cdot \frac{1}{9} = 72 \cdot \frac{1}{9} = 8 \text{ см}^2 $$ Площадь трапеции $ACFE$ является разностью площадей треугольника $ABC$ и треугольника $EBF$: $$ S_{ACFE} = S_{ABC} - S_{EBF} = 72 - 8 = 64 \text{ см}^2 $$

Ответ: 8 см² и 64 см².