Страница 274 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

5. 1) а) Найдите корни уравнения $a^x = a^c$ $(a > 0, a \neq 1)$.

б) Решите неравенство $a^x > a^c$ (рассмотрите два случая: $0 < a < 1$ и $a > 1$).

2) Решите уравнение:

а) $27^x = 9^{\frac{1}{5}}$;

б) $9^{x+1} + 3^{x+2} = 18$;

в) $0,5^{x^2+x-2,5} = \sqrt{2}$;

г) $3^{x+2} - 3^x = 72$.

3) Решите неравенство:

а) $5^{x^2-1} > \frac{1}{5}$;

б) $0,2^{x^2-2} > 5$;

в) $3^x < \frac{1}{9}$;

г) $(\frac{1}{2})^{x+1} > 4$.

1) а)

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ является монотонной. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот. Следовательно, если равны значения функции $a^x$ и $a^c$, то должны быть равны и их аргументы (показатели степени).

$a^x = a^c \implies x = c$

Ответ: $x = c$

1) б)

Решение неравенства $a^x > a^c$ зависит от основания $a$.

1. Если $a > 1$, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший аргумент. Поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$a^x > a^c \implies x > c$

2. Если $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньший аргумент. Поэтому знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

$a^x > a^c \implies x < c$

Ответ: если $a > 1$, то $x > c$; если $0 < a < 1$, то $x < c$.

2) а)

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

$27^x = (3^3)^x = 3^{3x}$

$9^{\frac{1}{5}} = (3^2)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{2}{5}}$

Получаем уравнение:

$3^{3x} = 3^{\frac{2}{5}}$

Приравниваем показатели степеней:

$3x = \frac{2}{5}$

$x = \frac{2}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}$

Ответ: $x = \frac{2}{15}$

2) б)

Приведем все слагаемые к основанию 3.

$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2$

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$

Подставим в исходное уравнение:

$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x = 18$

Разделим обе части на 9:

$(3^x)^2 + 3^x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$t^2 + t - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.

Возвращаемся к замене:

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

2) в)

Приведем обе части уравнения к основанию 2.

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$

$(2^{-1})^{x^2 + x - 2,5} = 2^{\frac{1}{2}}$

$2^{-(x^2 + x - 2,5)} = 2^{0,5}$

$2^{-x^2 - x + 2,5} = 2^{0,5}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x^2 - x + 2,5 = 0,5$

$-x^2 - x + 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -2$

2) г)

Преобразуем левую часть уравнения:

$3^{x+2} - 3^x = 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 9 \cdot 3^x - 3^x = 3^x(9 - 1) = 8 \cdot 3^x$

Подставим в уравнение:

$8 \cdot 3^x = 72$

$3^x = \frac{72}{8}$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

3) а)

Приведем правую часть к основанию 5.

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

Неравенство принимает вид:

$5^{x^2 - 1} > 5^{-1}$

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.

$x^2 - 1 > -1$

$x^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

3) б)

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$(5^{-1})^{x^2 - 2} > 5^1$

$5^{-(x^2 - 2)} > 5^1$

$5^{-x^2 + 2} > 5^1$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x^2 + 2 > 1$

$-x^2 > -1$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$

3) в)

Приведем правую часть к основанию 3.

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$3^x < 3^{-2}$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется.

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

3) г)

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$.

$4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^{x+1} > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$x+1 < -2$

$x < -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$

6. 1) Дайте определение логарифма числа.

2) Найдите:

а) $\log_2 16 \sqrt{2}$; б) $\log_{0.2} 25$; в) $\lg 0.01$; г) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$.

3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его помощью вычислите:

а) $3^{2 + \log_3 5}$; б) $(\frac{1}{2})^{1 + \log_2 3}$; в) $5^{-1 + \log_5 2}$; г) $0.2^{1 + \log_{0.2} 5}$.

1) Дайте определение логарифма числа.

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Формула определения логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

2) Найдите:

а) $\log_2 16\sqrt{2}$

Представим число $16\sqrt{2}$ как степень с основанием 2.
Так как $16 = 2^4$ и $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, то $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}} = 2^{4,5}$.
Следовательно, $\log_2 16\sqrt{2} = \log_2 2^{4,5} = 4,5$.
Ответ: $4,5$

б) $\log_{0,2} 25$

Обозначим $\log_{0,2} 25 = x$. По определению логарифма, $0,2^x = 25$.
Представим $0,2$ и $25$ как степени с одинаковым основанием 5.
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$25 = 5^2$
Подставим в уравнение: $(5^{-1})^x = 5^2$, что равносильно $5^{-x} = 5^2$.
Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = 2$, откуда $x = -2$.
Ответ: $-2$

в) $\lg 0,01$

Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10.
$\lg 0,01 = \log_{10} 0,01$.
Представим $0,01$ как степень 10: $0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
Следовательно, $\log_{10} 10^{-2} = -2$.
Ответ: $-2$

г) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$

Обозначим $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3} = x$. По определению, $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$.
Представим обе части как степени с основанием 3.
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
Подставим в уравнение: $(3^{-1})^x = 3^{\frac{1}{2}}$, что равносильно $3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Отсюда $-x = \frac{1}{2}$, то есть $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-0,5$

3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его помощью вычислите:

Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$ (при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$).

а) $3^{2 + \log_3 5}$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:
$3^{2 + \log_3 5} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 5}$.
Применяя основное логарифмическое тождество, имеем $3^{\log_3 5} = 5$.
Тогда выражение равно $9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: $45$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{1 + \log_2 3}$

Используя свойство степеней, получаем:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{1 + \log_2 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 3}$.
Преобразуем второй множитель: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 3} = (2^{-1})^{\log_2 3} = 2^{-\log_2 3} = 2^{\log_2 3^{-1}} = 2^{\log_2 \frac{1}{3}}$.
По основному тождеству, $2^{\log_2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Тогда выражение равно $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

в) $5^{-1 + \log_5 2}$

Используя свойство степеней, получаем:
$5^{-1 + \log_5 2} = 5^{-1} \cdot 5^{\log_5 2}$.
$5^{-1} = \frac{1}{5}$. По основному тождеству, $5^{\log_5 2} = 2$.
Тогда выражение равно $\frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

г) $0,2^{1 + \log_{0,2} 5}$

Используя свойство степеней, получаем:
$0,2^{1 + \log_{0,2} 5} = 0,2^1 \cdot 0,2^{\log_{0,2} 5}$.
По основному логарифмическому тождеству, $0,2^{\log_{0,2} 5} = 5$.
Тогда выражение равно $0,2 \cdot 5 = 1$.
Ответ: $1$

7. 1) Перечислите основные свойства логарифмов.

2) Прологарифмируйте по основанию $a$ выражение $(c > 0, b > 0):$

a) $16b^7 \sqrt[5]{c}$ при $a = 2;$

б) $\frac{c^4}{\sqrt[3]{100 b^n}}$ при $a = 10;$

в) $\frac{27 \sqrt{b}}{c^4}$ при $a = 3;$

г) $\frac{0,49 b^3}{c^5 \sqrt{c}}$ при $a = 0,7.$

3) Найдите $x$, если:

a) $\log_3 x = 2 \log_3 7 + \frac{2}{3} \log_3 27 - \frac{3}{2} \log_3 16;$

б) $\log_2 x = 2 \log_2 5 - \frac{1}{3} \log_2 8 + \log_2 0,2;$

в) $\log_5 x = \log_5 1,5 + \frac{1}{3} \log_5 8;$

г) $\lg x = 1 + 2 \lg 3 - \frac{2}{3} \lg 125.$

1) Основные свойства логарифмов (для $a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0$):

• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a x} = x$
• Логарифм единицы: $\log_a 1 = 0$
• Логарифм основания: $\log_a a = 1$
• Логарифм произведения: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• Логарифм частного: $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
• Логарифм степени: $\log_a(x^p) = p \log_a x$
• Формула перехода к новому основанию: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ (для $b > 0, b \neq 1$)

2)

а) Прологарифмируем выражение $16b^7 \sqrt[5]{c}$ по основанию $a=2$. Используем свойства логарифма произведения и степени:
$\log_2(16b^7 \sqrt[5]{c}) = \log_2 16 + \log_2 b^7 + \log_2 \sqrt[5]{c}$
Так как $16 = 2^4$ и $\sqrt[5]{c} = c^{1/5}$, получаем:
$\log_2(2^4) + 7\log_2 b + \frac{1}{5}\log_2 c = 4 + 7\log_2 b + \frac{1}{5}\log_2 c$
Ответ: $4 + 7\log_2 b + \frac{1}{5}\log_2 c$.

б) Прологарифмируем выражение $\frac{c^4}{\sqrt[3]{100 b^n}}$ по основанию $a=10$ (десятичный логарифм $\lg$). Используем свойства логарифма частного, произведения и степени:
$\lg\left(\frac{c^4}{\sqrt[3]{100 b^n}}\right) = \lg(c^4) - \lg(\sqrt[3]{100 b^n}) = 4\lg c - \lg((100 b^n)^{1/3})$
$= 4\lg c - \frac{1}{3}\lg(100 b^n) = 4\lg c - \frac{1}{3}(\lg 100 + \lg b^n)$
Так как $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$, получаем:
$4\lg c - \frac{1}{3}(2 + n\lg b) = 4\lg c - \frac{2}{3} - \frac{n}{3}\lg b$
Ответ: $4\lg c - \frac{2}{3} - \frac{n}{3}\lg b$.

в) Прологарифмируем выражение $\frac{27 \sqrt{b}}{c^4}$ по основанию $a=3$. Используем свойства логарифма частного, произведения и степени:
$\log_3\left(\frac{27 \sqrt{b}}{c^4}\right) = \log_3(27 \sqrt{b}) - \log_3(c^4) = \log_3 27 + \log_3 \sqrt{b} - 4\log_3 c$
Так как $27 = 3^3$ и $\sqrt{b} = b^{1/2}$, получаем:
$\log_3(3^3) + \frac{1}{2}\log_3 b - 4\log_3 c = 3 + \frac{1}{2}\log_3 b - 4\log_3 c$
Ответ: $3 + \frac{1}{2}\log_3 b - 4\log_3 c$.

г) Прологарифмируем выражение $\frac{0,49 b^3}{c^5 \sqrt{c}}$ по основанию $a=0,7$. Сначала упростим знаменатель: $c^5 \sqrt{c} = c^5 c^{1/2} = c^{5.5} = c^{11/2}$.
$\log_{0,7}\left(\frac{0,49 b^3}{c^{11/2}}\right) = \log_{0,7}(0,49 b^3) - \log_{0,7}(c^{11/2})$
$= \log_{0,7}(0,49) + \log_{0,7}(b^3) - \frac{11}{2}\log_{0,7} c$
Так как $0,49 = (0,7)^2$, то $\log_{0,7}(0,49) = 2$.
$2 + 3\log_{0,7} b - \frac{11}{2}\log_{0,7} c$
Ответ: $2 + 3\log_{0,7} b - \frac{11}{2}\log_{0,7} c$.

3)

а) $\log_3 x = 2 \log_3 7 + \frac{2}{3} \log_3 27 - \frac{3}{2} \log_3 16$
Преобразуем правую часть, используя свойство логарифма степени $p \log_a b = \log_a b^p$:
$\log_3 x = \log_3 7^2 + \log_3 27^{2/3} - \log_3 16^{3/2}$
Вычисляем значения степеней: $7^2 = 49$, $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$, $16^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$.
$\log_3 x = \log_3 49 + \log_3 9 - \log_3 64$
Используем свойства логарифма произведения и частного:
$\log_3 x = \log_3(49 \cdot 9) - \log_3 64 = \log_3\left(\frac{49 \cdot 9}{64}\right) = \log_3\left(\frac{441}{64}\right)$
Следовательно, $x = \frac{441}{64}$.
Ответ: $x = \frac{441}{64}$.

б) $\log_2 x = 2 \log_2 5 - \frac{1}{3} \log_2 8 + \log_2 0,2$
Преобразуем правую часть:
$\log_2 x = \log_2 5^2 - \log_2 8^{1/3} + \log_2 0,2$
Вычисляем значения: $5^2 = 25$, $8^{1/3} = 2$, $0,2 = \frac{1}{5}$.
$\log_2 x = \log_2 25 - \log_2 2 + \log_2 \frac{1}{5}$
Объединяем логарифмы:
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{25 \cdot \frac{1}{5}}{2}\right) = \log_2\left(\frac{5}{2}\right) = \log_2(2,5)$
Следовательно, $x=2,5$.
Ответ: $x = 2,5$.

в) $\log_5 x = \log_5 1,5 + \frac{1}{3} \log_5 8$
Преобразуем правую часть:
$\log_5 x = \log_5 1,5 + \log_5 8^{1/3}$
Вычисляем степень: $8^{1/3} = 2$.
$\log_5 x = \log_5 1,5 + \log_5 2$
Используем свойство логарифма произведения:
$\log_5 x = \log_5(1,5 \cdot 2) = \log_5 3$
Следовательно, $x=3$.
Ответ: $x = 3$.

г) $\lg x = 1 + 2 \lg 3 - \frac{2}{3} \lg 125$
Представим $1$ как десятичный логарифм: $1 = \lg 10$.
$\lg x = \lg 10 + 2 \lg 3 - \frac{2}{3} \lg 125$
Преобразуем правую часть:
$\lg x = \lg 10 + \lg 3^2 - \lg 125^{2/3}$
Вычисляем степени: $3^2=9$, $125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25$.
$\lg x = \lg 10 + \lg 9 - \lg 25$
Объединяем логарифмы:
$\lg x = \lg\left(\frac{10 \cdot 9}{25}\right) = \lg\left(\frac{90}{25}\right) = \lg\left(\frac{18}{5}\right) = \lg(3,6)$
Следовательно, $x=3,6$.
Ответ: $x = 3,6$.

8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечислите ее основные свойства.

2) Постройте график функции:

а) $y = \log_4 x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 1)$;

в) $y = \log_5 x$;

г) $y = \log_{\frac{1}{4}} x + 1.

3) Какое число больше:

а) $\text{lg}\ 7$ или $3\ \text{lg}\ 2$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} 5$ или $\log_{\frac{1}{3}} 6$;

в) $\log_3 5$ или $\log_3 6$;

г) $\log_2 3$ или $\log_3 2$?

1) Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a x$, где $a$ – заданное число, причем $a > 0$ и $a \neq 1$. Эта функция является обратной к показательной функции $y = a^x$.

Основные свойства логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Область определения функции – множество всех положительных действительных чисел: $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений функции – множество всех действительных чисел: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• График любой логарифмической функции проходит через точку $(1; 0)$, так как $\log_a 1 = 0$.
• Функция является непрерывной на всей области определения.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика функции.
• Монотонность функции зависит от основания $a$:
  • Если $a > 1$, функция является возрастающей. То есть, для любых $x_2 > x_1 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_2 > \log_a x_1$.
  • Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. То есть, для любых $x_2 > x_1 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_2 < \log_a x_1$.

Ответ: Дано определение и перечислены свойства логарифмической функции.

2) Для построения графиков функций найдем их области определения, асимптоты и несколько ключевых точек, а также определим тип преобразования.

а) $y = \log_4 x$

Это основная логарифмическая функция с основанием $a = 4$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Найдем ключевые точки:
Если $x=1$, то $y = \log_4 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
Если $x=4$, то $y = \log_4 4 = 1$. Точка $(4; 1)$.
Если $x=1/4$, то $y = \log_4 (1/4) = -1$. Точка $(1/4; -1)$.
График представляет собой кривую, которая проходит через найденные точки, приближается к оси $Oy$ снизу и медленно возрастает вправо.

Ответ: График функции $y = \log_4 x$ – это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$, $(4, 1)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.

б) $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 1)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ путем сдвига на 1 единицу вправо по оси $Ox$.
Основание $a = 1/5$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Область определения: $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$.
Вертикальная асимптота: $x=1$.
Найдем ключевые точки через преобразование:
Если $x-1=1$ (то есть $x=2$), то $y = \log_{\frac{1}{5}} 1 = 0$. Точка $(2; 0)$.
Если $x-1=1/5$ (то есть $x=6/5$), то $y = \log_{\frac{1}{5}} (1/5) = 1$. Точка $(6/5; 1)$.
Если $x-1=5$ (то есть $x=6$), то $y = \log_{\frac{1}{5}} 5 = -1$. Точка $(6; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 1)$ – это убывающая кривая, проходящая через точки $(6/5, 1)$, $(2, 0)$, $(6, -1)$ с вертикальной асимптотой $x=1$.

в) $y = \log_5 x$

Это основная логарифмическая функция с основанием $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Найдем ключевые точки:
Если $x=1$, то $y = \log_5 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
Если $x=5$, то $y = \log_5 5 = 1$. Точка $(5; 1)$.
Если $x=1/5$, то $y = \log_5 (1/5) = -1$. Точка $(1/5; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_5 x$ – это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1/5, -1)$, $(1, 0)$, $(5, 1)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.

г) $y = \log_{\frac{1}{4}} x + 1$

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ путем сдвига на 1 единицу вверх по оси $Oy$.
Основание $a = 1/4$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Найдем ключевые точки через преобразование. Для $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ точки: $(1, 0)$, $(4, -1)$, $(1/4, 1)$. Сдвигаем их на 1 вверх:
$(1, 0+1) \implies (1; 1)$.
$(4, -1+1) \implies (4; 0)$.
$(1/4, 1+1) \implies (1/4; 2)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x + 1$ – это убывающая кривая, проходящая через точки $(1/4, 2)$, $(1, 1)$, $(4, 0)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.

3) Сравним числа, используя свойства логарифмов и логарифмической функции.

а) $\lg 7$ или $3 \lg 2$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ для второго выражения:
$3 \lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8$.
Теперь сравним $\lg 7$ и $\lg 8$.
Функция $y = \lg x$ (десятичный логарифм) имеет основание $a=10 > 1$, значит, она возрастающая.
Для возрастающей функции, если аргумент больше, то и значение функции больше.
Так как $8 > 7$, то $\lg 8 > \lg 7$.
Следовательно, $3 \lg 2 > \lg 7$.

Ответ: $3 \lg 2 > \lg 7$.

б) $\log_{\frac{1}{3}} 5$ или $\log_{\frac{1}{3}} 6$

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ имеет основание $a = 1/3$. Так как $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей.
Для убывающей функции, если аргумент больше, то значение функции меньше.
Поскольку $6 > 5$, то $\log_{\frac{1}{3}} 6 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 5 > \log_{\frac{1}{3}} 6$.

в) $\log_3 5$ или $\log_3 6$

Функция $y = \log_3 x$ имеет основание $a = 3 > 1$, значит, она возрастающая.
Для возрастающей функции, если аргумент больше, то и значение функции больше.
Поскольку $6 > 5$, то $\log_3 6 > \log_3 5$.

Ответ: $\log_3 6 > \log_3 5$.

г) $\log_2 3$ или $\log_3 2$

Сравним каждое из этих чисел с единицей.
Рассмотрим $\log_2 3$. Основание $2 > 1$. Так как аргумент $3 > 2^1$, то $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$.
Рассмотрим $\log_3 2$. Основание $3 > 1$. Так как аргумент $2 < 3^1$, то $\log_3 2 < \log_3 3 = 1$.
Поскольку $\log_2 3 > 1$, а $\log_3 2 < 1$, то очевидно, что $\log_2 3 > \log_3 2$.

Ответ: $\log_2 3 > \log_3 2$.