Страница 273 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

1. 1) Дайте определение корня n-й степени из числа. Что такое арифметический корень n-й степени?

2) Найдите значение:

а) $\sqrt[3]{-27}$; б) $\sqrt[4]{625}$; в) $\sqrt[7]{-128}$; г) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}}$; д) $(\sqrt[n]{x})^n$.

3) Решите уравнение:

а) $x^3 = 125$; б) $x^4 = 64$; в) $x^5 = -\frac{1}{243}$; г) $x^4 = -16$.

1)

Корнем n-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется такое число $b$, n-я степень которого равна $a$. Это можно записать как: если $\sqrt[n]{a} = b$, то $b^n = a$.
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число $b$, n-я степень которого равна $a$. Арифметический корень обозначается так же, $\sqrt[n]{a}$, но он определен только для $a \ge 0$ и его значение также всегда неотрицательно ($b \ge 0$).

2)

а) $\sqrt[3]{-27}$. Нужно найти число, куб которого равен -27. Это число -3, так как $(-3)^3 = -27$.
Ответ: -3

б) $\sqrt[4]{625}$. Так как показатель корня четный, ищем неотрицательное число, четвертая степень которого равна 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$.
Ответ: 5

в) $\sqrt[7]{-128}$. Нужно найти число, седьмая степень которого равна -128. Это число -2, так как $(-2)^7 = -128$.
Ответ: -2

г) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}}$. Получаем $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{1}{2}$, так как $1^6=1$ и $2^6=64$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) $(\sqrt[n]{x})^n$. По определению корня n-й степени, данное выражение равно $x$ для всех значений $x$, при которых корень $\sqrt[n]{x}$ определен.
Ответ: $x$

3)

а) $x^3 = 125$. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения: $x = \sqrt[3]{125}$. Так как $5^3=125$, то $x=5$.
Ответ: $x=5$

б) $x^4 = 64$. Так как степень четная, а число 64 положительное, уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[4]{64}$. Упростим корень: $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{8 \cdot 8} = \sqrt[4]{(2\sqrt{2})^2 \cdot (2\sqrt{2})^2} = \sqrt[4]{(2\sqrt{2})^4} = 2\sqrt{2}$. Следовательно, $x = \pm 2\sqrt{2}$.
Ответ: $x = \pm 2\sqrt{2}$

в) $x^5 = -\frac{1}{243}$. Извлекаем корень пятой степени из обеих частей: $x = \sqrt[5]{-\frac{1}{243}}$. Так как $3^5=243$, то $\sqrt[5]{243}=3$. Следовательно, $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$

г) $x^4 = -16$. Четвертая степень любого действительного числа не может быть отрицательной ($x^4 \ge 0$). Правая часть уравнения - отрицательное число. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: действительных корней нет

2. 1) Перечислите основные свойства арифметических корней.

2) Преобразуйте выражение:

а) $ \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4} $;

б) $ \frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}} $;

в) $ \left(\sqrt[6]{\frac{27}{8}}\right)^{2} $;

г) $ \sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}} $.

3) Какое из чисел больше:

а) $ \sqrt[7]{128} $ или $ \sqrt[5]{4} $;

б) $ 2^{100} $ или $ 100^{20} $;

в) $ \sqrt[8]{26} $ или $ \sqrt[4]{5} $;

г) $ \sqrt[5]{5} $ или $ \sqrt[3]{3} $?

1)

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, n-я степень которого равна $a$. Обозначается как $\sqrt[n]{a} = b$, где $a \ge 0$, $b \ge 0$, $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

Основные свойства арифметических корней (для $a \ge 0, b \ge 0$ и натуральных $n, m, k \ge 2$):

• Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
• Корень из частного равен частному корней (при $b > 0$): $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
• Возведение корня в степень: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$.
• Извлечение корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
• Основное свойство корня (изменение показателя корня и показателя степени подкоренного выражения): $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $m \in \mathbb{N}$).
• Для любого действительного числа $a$ и четного показателя корня $n = 2k$: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.

2)

а) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4}$, приведем корни к одному показателю. Наименьший общий показатель - 8.

Представим $\sqrt[4]{8}$ как корень 8-й степени: $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 2]{8^2} = \sqrt[8]{64}$.

Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[8]{64} \cdot \sqrt[8]{4} = \sqrt[8]{64 \cdot 4} = \sqrt[8]{256}$.

Так как $2^8 = 256$, то $\sqrt[8]{256} = 2$.

Можно также решить задачу с использованием степеней:

$\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4} = (2^3)^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} = 2^{3/4} \cdot 2^{2/8} = 2^{3/4} \cdot 2^{1/4} = 2^{3/4 + 1/4} = 2^{4/4} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

б) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}}$.

Упростим подкоренные выражения. $125 = 5^3$. $320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$.

$\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{3/6} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.

$\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.

Получаем: $\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt[3]{5}}$.

Представим в виде степеней: $\frac{5^{1/2}}{4 \cdot 5^{1/3}} = \frac{1}{4} \cdot 5^{1/2 - 1/3} = \frac{1}{4} \cdot 5^{3/6 - 2/6} = \frac{1}{4} \cdot 5^{1/6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[6]{5}}{4}$

в) Преобразуем выражение $(\sqrt[6]{\frac{27}{8}})^2$.

Воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$: $(\sqrt[6]{\frac{27}{8}})^2 = \sqrt[6]{(\frac{27}{8})^2}$.

Можно сократить показатель корня и показатель степени: $\sqrt[6]{(\frac{27}{8})^2} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.

Извлечем корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}}$.

Используем свойство корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}} = \frac{\sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2}}{\sqrt{c^8}}$.

По определению арифметического корня $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$ (так как $a^2$ всегда неотрицательно).

$\sqrt{b^2} = |b|$.

$\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4| = c^4$ (так как $c^4$ всегда неотрицательно). Также, $c \ne 0$, так как стоит в знаменателе.

Собираем все вместе: $\frac{a^2 |b|}{c^4}$.

Ответ: $\frac{a^2 |b|}{c^4}$

3)

а) Сравним числа $\sqrt[7]{128}$ и $\sqrt[5]{4}$.

Упростим первое число: $\sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2^7} = 2$.

Теперь нужно сравнить $2$ и $\sqrt[5]{4}$.

Возведем оба числа в 5-ю степень. Так как функция $y=x^5$ возрастающая для положительных чисел, знак неравенства сохранится.

$2^5 = 32$.

$(\sqrt[5]{4})^5 = 4$.

Поскольку $32 > 4$, то $2 > \sqrt[5]{4}$.

Следовательно, $\sqrt[7]{128} > \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[7]{128}$ больше.

б) Сравним числа $2^{100}$ и $100^{20}$.

Приведем числа к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 100 и 20 равен 20.

$2^{100} = 2^{5 \cdot 20} = (2^5)^{20} = 32^{20}$.

Теперь сравним $32^{20}$ и $100^{20}$.

Так как показатели степеней одинаковы, сравниваем основания.

$32 < 100$.

Следовательно, $32^{20} < 100^{20}$, а значит $2^{100} < 100^{20}$.

Ответ: $100^{20}$ больше.

в) Сравним числа $\sqrt[8]{26}$ и $\sqrt[4]{5}$.

Приведем корни к одному показателю. Наименьшее общее кратное для 8 и 4 равно 8.

Первое число уже имеет показатель 8: $\sqrt[8]{26}$.

Второе число: $\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[8]{25}$.

Теперь сравним $\sqrt[8]{26}$ и $\sqrt[8]{25}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения.

$26 > 25$.

Следовательно, $\sqrt[8]{26} > \sqrt[8]{25}$, а значит $\sqrt[8]{26} > \sqrt[4]{5}$.

Ответ: $\sqrt[8]{26}$ больше.

г) Сравним числа $\sqrt[5]{5}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15.

$\sqrt[5]{5} = \sqrt[5 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[15]{125}$.

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$ (так как $3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$).

Теперь сравним $\sqrt[15]{125}$ и $\sqrt[15]{243}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения.

$125 < 243$.

Следовательно, $\sqrt[15]{125} < \sqrt[15]{243}$, а значит $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$ больше.

3:

1) Дайте определение степени с рациональным показателем и перечислите основные свойства таких степеней.

2) Найдите значение:

а) $ \left( \left( \frac{125}{8} \right)^{\frac{2}{3}} \right)^{-\frac{1}{2}} $;

б) $ \sqrt[5]{64} : 2^{-\frac{1}{5}} \cdot \left( 2^{\frac{1}{10}} \right)^6 $;

в) $ 16^{-\frac{1}{4}} $;

г) $ \left( \frac{81}{625} \right)^{\frac{1}{4}} $.

3) Какое из чисел больше:

а) $ \sqrt[3]{16} $ или $ 2^4 $;

б) $ 3^{-\frac{2}{3}} $ или $ 9^{-\frac{3}{4}} $;

в) $ 0,3^7 $ или $ 0,3^{-4} $;

г) $ 5^{-\frac{2}{3}} $ или $ 5^{-0,6} $?

1)

Определение: Степенью числа $a > 0$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \geq 2$), называется число $\sqrt[n]{a^m}$.
Таким образом, формула определения выглядит так: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Основные свойства:
Для любых $a > 0$, $b > 0$ и любых рациональных чисел $p$ и $q$ справедливы следующие равенства:
1. Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.
2. Частное степеней с одинаковым основанием: $a^p : a^q = a^{p-q}$.
3. Возведение степени в степень: $(a^p)^q = a^{pq}$.
4. Степень произведения: $(ab)^p = a^p b^p$.
5. Степень частного: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

2)

а) Для вычисления выражения $((\frac{125}{8})^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$.
$((\frac{125}{8})^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{125}{8})^{\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})} = (\frac{125}{8})^{-\frac{1}{3}}$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-p} = (\frac{b}{a})^p$ и определением степени с рациональным показателем.
$(\frac{125}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{125})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

б) Для вычисления выражения $\sqrt[5]{64} : 2^{-\frac{1}{5}} \cdot (2^{\frac{1}{10}})^6$ представим все числа в виде степеней с основанием 2.
$\sqrt[5]{64} = 64^{\frac{1}{5}} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$.
$(2^{\frac{1}{10}})^6 = 2^{\frac{1}{10} \cdot 6} = 2^{\frac{6}{10}} = 2^{\frac{3}{5}}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение: $2^{\frac{6}{5}} : 2^{-\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{3}{5}}$.
Используем свойства степеней: при делении показатели вычитаются, при умножении — складываются.
$2^{\frac{6}{5} - (-\frac{1}{5}) + \frac{3}{5}} = 2^{\frac{6+1+3}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: $4$

в) Для вычисления $16^{-\frac{1}{4}}$ представим 16 как степень числа 2: $16=2^4$.
$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для вычисления $(\frac{81}{625})^{\frac{1}{4}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем.
$(\frac{81}{625})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}$.
Поскольку $3^4 = 81$ и $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{81}=3$ и $\sqrt[4]{625}=5$.
$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

3)

а) Сравним $\sqrt[3]{16}$ и $2^{\frac{5}{4}}$.
Приведем оба числа к степеням с одинаковым основанием 2.
$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.
Теперь нужно сравнить $2^{\frac{4}{3}}$ и $2^{\frac{5}{4}}$. Так как основание степени $2 > 1$, то большей степени соответствует большее значение. Сравним показатели: $\frac{4}{3}$ и $\frac{5}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$ и $\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$.
Поскольку $\frac{16}{12} > \frac{15}{12}$, то $2^{\frac{16}{12}} > 2^{\frac{15}{12}}$, и, следовательно, $\sqrt[3]{16} > 2^{\frac{5}{4}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{16}$ больше.

б) Сравним $3^{-\frac{2}{3}}$ и $9^{-\frac{3}{4}}$.
Приведем второе число к основанию 3: $9^{-\frac{3}{4}} = (3^2)^{-\frac{3}{4}} = 3^{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-\frac{6}{4}} = 3^{-\frac{3}{2}}$.
Сравним $3^{-\frac{2}{3}}$ и $3^{-\frac{3}{2}}$. Так как основание $3 > 1$, большему показателю соответствует большее значение. Сравним показатели $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{2}$.
Приведем к общему знаменателю 6: $-\frac{2}{3} = -\frac{4}{6}$ и $-\frac{3}{2} = -\frac{9}{6}$.
Так как $-\frac{4}{6} > -\frac{9}{6}$, то $3^{-\frac{2}{3}} > 3^{-\frac{3}{2}}$.
Ответ: $3^{-\frac{2}{3}}$ больше.

в) Сравним $0,3^{\frac{4}{7}}$ и $0,3^{-\frac{4}{7}}$.
Основание степени $0,3$ одинаково и находится в интервале $0 < 0,3 < 1$. Для таких оснований степенная функция является убывающей, то есть большему показателю степени соответствует меньшее значение.
Сравним показатели: $\frac{4}{7}$ и $-\frac{4}{7}$. Очевидно, что $\frac{4}{7} > -\frac{4}{7}$.
Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $0,3^{\frac{4}{7}} < 0,3^{-\frac{4}{7}}$.
Ответ: $0,3^{-\frac{4}{7}}$ больше.

г) Сравним $5^{-\frac{2}{3}}$ и $5^{-0,6}$.
Основание степени 5 больше 1, значит, степенная функция является возрастающей: большему показателю соответствует большее значение.
Сравним показатели степени: $-\frac{2}{3}$ и $-0,6$.
Переведем $-0,6$ в обыкновенную дробь: $-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Приведем дроби $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{5}$ к общему знаменателю 15: $-\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}$; $-\frac{3}{5} = -\frac{9}{15}$.
Так как $-10 < -9$, то $-\frac{10}{15} < -\frac{9}{15}$, следовательно $-\frac{2}{3} < -0,6$.
Поскольку функция возрастающая, то $5^{-\frac{2}{3}} < 5^{-0,6}$.
Ответ: $5^{-0,6}$ больше.

4. 1) Перечислите основные свойства показательной функции.

2) Постройте график функции:

а) $y = 4^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$;

в) $y = 6^x$;

г) $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$.

3) Какое из чисел больше:

а) $2^{0,4}$ или $2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$ ;

б) $1,2^{-\sqrt{3}}$ или $1,2^{\sqrt{5}}$;

в) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{5}}$ или $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$;

г) $0,3^{-\pi}$ или $0,3^{-3}$?

1)

Основные свойства показательной функции $y = a^x$ (где основание $a > 0$ и $a \neq 1$):

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(f) = (0; +\infty)$.
• Точка пересечения с осью OY: график любой показательной функции проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$.
• Пересечение с осью OX: график не пересекает ось OX, так как $a^x > 0$ при любых значениях $x$. Ось OX является горизонтальной асимптотой для графика.
• Монотонность:
  • Если $a > 1$, функция является строго возрастающей (то есть, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$).
  • Если $0 < a < 1$, функция является строго убывающей (то есть, если $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$).
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
• Непрерывность и дифференцируемость: функция непрерывна и дифференцируема на всей своей области определения.

2)

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции и опишем их поведение.

а) $y = 4^x$

Это показательная функция с основанием $a=4$, которое больше 1. Следовательно, функция возрастающая. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to -\infty$.

б) $y = (\frac{1}{4})^x$

Это показательная функция с основанием $a=1/4$, которое меньше 1. Следовательно, функция убывающая. График является зеркальным отражением графика $y = 4^x$ относительно оси OY. Он также проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to +\infty$.

в) $y = 6^x$

Это показательная функция с основанием $a=6 > 1$. Функция возрастающая, причем растет "круче", чем $y=4^x$ при $x>0$. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to -\infty$.

г) $y = (\frac{1}{6})^x$

Это показательная функция с основанием $a=1/6 < 1$. Функция убывающая, причем убывает "круче", чем $y=(1/4)^x$ при $x>0$. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к оси OX при $x \to +\infty$.

3)

а) Сравнить $2^{0.4}$ и $2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

Рассмотрим показательную функцию $y=2^x$. Так как основание $a = 2 > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели $0.4$ и $\frac{\sqrt{2}}{3}$. Представим $0.4 = \frac{2}{5}$. Чтобы сравнить $\frac{2}{5}$ и $\frac{\sqrt{2}}{3}$, возведем оба положительных числа в квадрат: $(\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$ и $(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 225: $\frac{4}{25} = \frac{36}{225}$ и $\frac{2}{9} = \frac{50}{225}$. Так как $\frac{36}{225} < \frac{50}{225}$, то и $0.4 < \frac{\sqrt{2}}{3}$. Из-за возрастания функции $y=2^x$ следует, что $2^{0.4} < 2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

Ответ: $2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}$ больше, чем $2^{0.4}$.

б) Сравнить $1.2^{-\sqrt{3}}$ и $1.2^{\sqrt{5}}$.

Функция $y = 1.2^x$ имеет основание $a = 1.2 > 1$, значит, она возрастающая. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $-\sqrt{3} < 0$ и $\sqrt{5} > 0$, то очевидно, что $-\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение функции, следовательно, $1.2^{-\sqrt{3}} < 1.2^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $1.2^{\sqrt{5}}$ больше, чем $1.2^{-\sqrt{3}}$.

в) Сравнить $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$.

Функция $y = (\frac{1}{2})^x$ имеет основание $a = \frac{1}{2}$, которое находится в интервале $(0; 1)$, значит, функция убывающая. Это означает, что большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели: $\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}$. Так как $5 > 3$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$. В силу убывания функции имеем: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}} < (\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ больше, чем $(\frac{1}{2})^{\sqrt{5}}$.

г) Сравнить $0.3^{-\pi}$ и $0.3^{-3}$.

Функция $y = 0.3^x$ имеет основание $a = 0.3 < 1$, значит, она убывающая. Сравним показатели степеней: $-\pi$ и $-3$. Известно, что $\pi \approx 3.14159...$, следовательно, $\pi > 3$. Умножая обе части неравенства на $-1$, меняем знак неравенства: $-\pi < -3$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение функции. Таким образом, $0.3^{-\pi} > 0.3^{-3}$.

Ответ: $0.3^{-\pi}$ больше, чем $0.3^{-3}$.