Номер 1, страница 273 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 1, страница 273.

Условие.

1. 1) Дайте определение корня n-й степени из числа. Что такое арифметический корень n-й степени?

2) Найдите значение:

а) $\sqrt[3]{-27}$; б) $\sqrt[4]{625}$; в) $\sqrt[7]{-128}$; г) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}}$; д) $(\sqrt[n]{x})^n$.

3) Решите уравнение:

а) $x^3 = 125$; б) $x^4 = 64$; в) $x^5 = -\frac{1}{243}$; г) $x^4 = -16$.

Решение 5.

1)

Корнем n-й степени из числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется такое число $b$, n-я степень которого равна $a$. Это можно записать как: если $\sqrt[n]{a} = b$, то $b^n = a$.
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число $b$, n-я степень которого равна $a$. Арифметический корень обозначается так же, $\sqrt[n]{a}$, но он определен только для $a \ge 0$ и его значение также всегда неотрицательно ($b \ge 0$).

2)

а) $\sqrt[3]{-27}$. Нужно найти число, куб которого равен -27. Это число -3, так как $(-3)^3 = -27$.
Ответ: -3

б) $\sqrt[4]{625}$. Так как показатель корня четный, ищем неотрицательное число, четвертая степень которого равна 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$.
Ответ: 5

в) $\sqrt[7]{-128}$. Нужно найти число, седьмая степень которого равна -128. Это число -2, так как $(-2)^7 = -128$.
Ответ: -2

г) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt[6]{b}}$. Получаем $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{1}{2}$, так как $1^6=1$ и $2^6=64$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) $(\sqrt[n]{x})^n$. По определению корня n-й степени, данное выражение равно $x$ для всех значений $x$, при которых корень $\sqrt[n]{x}$ определен.
Ответ: $x$

3)

а) $x^3 = 125$. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения: $x = \sqrt[3]{125}$. Так как $5^3=125$, то $x=5$.
Ответ: $x=5$

б) $x^4 = 64$. Так как степень четная, а число 64 положительное, уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm \sqrt[4]{64}$. Упростим корень: $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{8 \cdot 8} = \sqrt[4]{(2\sqrt{2})^2 \cdot (2\sqrt{2})^2} = \sqrt[4]{(2\sqrt{2})^4} = 2\sqrt{2}$. Следовательно, $x = \pm 2\sqrt{2}$.
Ответ: $x = \pm 2\sqrt{2}$

в) $x^5 = -\frac{1}{243}$. Извлекаем корень пятой степени из обеих частей: $x = \sqrt[5]{-\frac{1}{243}}$. Так как $3^5=243$, то $\sqrt[5]{243}=3$. Следовательно, $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$

г) $x^4 = -16$. Четвертая степень любого действительного числа не может быть отрицательной ($x^4 \ge 0$). Правая часть уравнения - отрицательное число. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: действительных корней нет