Номер 3, страница 273 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 3, страница 273.

Условие.

3:

1) Дайте определение степени с рациональным показателем и перечислите основные свойства таких степеней.

2) Найдите значение:

а) $ \left( \left( \frac{125}{8} \right)^{\frac{2}{3}} \right)^{-\frac{1}{2}} $;

б) $ \sqrt[5]{64} : 2^{-\frac{1}{5}} \cdot \left( 2^{\frac{1}{10}} \right)^6 $;

в) $ 16^{-\frac{1}{4}} $;

г) $ \left( \frac{81}{625} \right)^{\frac{1}{4}} $.

3) Какое из чисел больше:

а) $ \sqrt[3]{16} $ или $ 2^4 $;

б) $ 3^{-\frac{2}{3}} $ или $ 9^{-\frac{3}{4}} $;

в) $ 0,3^7 $ или $ 0,3^{-4} $;

г) $ 5^{-\frac{2}{3}} $ или $ 5^{-0,6} $?

Решение 5.

1)

Определение: Степенью числа $a > 0$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \geq 2$), называется число $\sqrt[n]{a^m}$.
Таким образом, формула определения выглядит так: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Основные свойства:
Для любых $a > 0$, $b > 0$ и любых рациональных чисел $p$ и $q$ справедливы следующие равенства:
1. Произведение степеней с одинаковым основанием: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.
2. Частное степеней с одинаковым основанием: $a^p : a^q = a^{p-q}$.
3. Возведение степени в степень: $(a^p)^q = a^{pq}$.
4. Степень произведения: $(ab)^p = a^p b^p$.
5. Степень частного: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

2)

а) Для вычисления выражения $((\frac{125}{8})^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{pq}$.
$((\frac{125}{8})^{\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{125}{8})^{\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})} = (\frac{125}{8})^{-\frac{1}{3}}$.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-p} = (\frac{b}{a})^p$ и определением степени с рациональным показателем.
$(\frac{125}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{125})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

б) Для вычисления выражения $\sqrt[5]{64} : 2^{-\frac{1}{5}} \cdot (2^{\frac{1}{10}})^6$ представим все числа в виде степеней с основанием 2.
$\sqrt[5]{64} = 64^{\frac{1}{5}} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$.
$(2^{\frac{1}{10}})^6 = 2^{\frac{1}{10} \cdot 6} = 2^{\frac{6}{10}} = 2^{\frac{3}{5}}$.
Подставим полученные значения в исходное выражение: $2^{\frac{6}{5}} : 2^{-\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{3}{5}}$.
Используем свойства степеней: при делении показатели вычитаются, при умножении — складываются.
$2^{\frac{6}{5} - (-\frac{1}{5}) + \frac{3}{5}} = 2^{\frac{6+1+3}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: $4$

в) Для вычисления $16^{-\frac{1}{4}}$ представим 16 как степень числа 2: $16=2^4$.
$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Для вычисления $(\frac{81}{625})^{\frac{1}{4}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем.
$(\frac{81}{625})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}$.
Поскольку $3^4 = 81$ и $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{81}=3$ и $\sqrt[4]{625}=5$.
$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

3)

а) Сравним $\sqrt[3]{16}$ и $2^{\frac{5}{4}}$.
Приведем оба числа к степеням с одинаковым основанием 2.
$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.
Теперь нужно сравнить $2^{\frac{4}{3}}$ и $2^{\frac{5}{4}}$. Так как основание степени $2 > 1$, то большей степени соответствует большее значение. Сравним показатели: $\frac{4}{3}$ и $\frac{5}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$ и $\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$.
Поскольку $\frac{16}{12} > \frac{15}{12}$, то $2^{\frac{16}{12}} > 2^{\frac{15}{12}}$, и, следовательно, $\sqrt[3]{16} > 2^{\frac{5}{4}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{16}$ больше.

б) Сравним $3^{-\frac{2}{3}}$ и $9^{-\frac{3}{4}}$.
Приведем второе число к основанию 3: $9^{-\frac{3}{4}} = (3^2)^{-\frac{3}{4}} = 3^{2 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-\frac{6}{4}} = 3^{-\frac{3}{2}}$.
Сравним $3^{-\frac{2}{3}}$ и $3^{-\frac{3}{2}}$. Так как основание $3 > 1$, большему показателю соответствует большее значение. Сравним показатели $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{2}$.
Приведем к общему знаменателю 6: $-\frac{2}{3} = -\frac{4}{6}$ и $-\frac{3}{2} = -\frac{9}{6}$.
Так как $-\frac{4}{6} > -\frac{9}{6}$, то $3^{-\frac{2}{3}} > 3^{-\frac{3}{2}}$.
Ответ: $3^{-\frac{2}{3}}$ больше.

в) Сравним $0,3^{\frac{4}{7}}$ и $0,3^{-\frac{4}{7}}$.
Основание степени $0,3$ одинаково и находится в интервале $0 < 0,3 < 1$. Для таких оснований степенная функция является убывающей, то есть большему показателю степени соответствует меньшее значение.
Сравним показатели: $\frac{4}{7}$ и $-\frac{4}{7}$. Очевидно, что $\frac{4}{7} > -\frac{4}{7}$.
Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $0,3^{\frac{4}{7}} < 0,3^{-\frac{4}{7}}$.
Ответ: $0,3^{-\frac{4}{7}}$ больше.

г) Сравним $5^{-\frac{2}{3}}$ и $5^{-0,6}$.
Основание степени 5 больше 1, значит, степенная функция является возрастающей: большему показателю соответствует большее значение.
Сравним показатели степени: $-\frac{2}{3}$ и $-0,6$.
Переведем $-0,6$ в обыкновенную дробь: $-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Приведем дроби $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{5}$ к общему знаменателю 15: $-\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}$; $-\frac{3}{5} = -\frac{9}{15}$.
Так как $-10 < -9$, то $-\frac{10}{15} < -\frac{9}{15}$, следовательно $-\frac{2}{3} < -0,6$.
Поскольку функция возрастающая, то $5^{-\frac{2}{3}} < 5^{-0,6}$.
Ответ: $5^{-0,6}$ больше.