Номер 579, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 579, страница 268.

Условие.

579. Два тела имеют одинаковую температуру $100^\circ$. Они вынесены на воздух (его температура $0^\circ$). Через 10 мин температура одного тела стала $80^\circ$, а второго — $64^\circ$. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна $25^\circ$?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи используется закон охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Математически это выражается дифференциальным уравнением, решением которого для данной задачи является следующая функция, описывающая температуру тела $T$ в момент времени $t$:

$T(t) = T_{среды} + (T_{начальная} - T_{среды}) \cdot e^{-kt}$

где $T_{начальная}$ — начальная температура тела, $T_{среды}$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент остывания, зависящий от свойств тела.

В условиях задачи $T_{начальная} = 100^{\circ}C$ и $T_{среды} = 0^{\circ}C$. Формула упрощается:

$T(t) = 100 \cdot e^{-kt}$

1. Определение коэффициентов остывания для каждого тела

Пусть $T_1(t)$ и $T_2(t)$ — температуры первого и второго тел соответственно, а $k_1$ и $k_2$ — их коэффициенты остывания.

Для первого тела известно, что через 10 минут ($t=10$) его температура стала $80^{\circ}C$:

$T_1(10) = 80 = 100 \cdot e^{-k_1 \cdot 10}$

Отсюда находим $e^{-10k_1} = \frac{80}{100} = 0.8$.

Для второго тела известно, что через 10 минут ($t=10$) его температура стала $64^{\circ}C$:

$T_2(10) = 64 = 100 \cdot e^{-k_2 \cdot 10}$

Отсюда находим $e^{-10k_2} = \frac{64}{100} = 0.64$.

Теперь мы можем выразить функции температуры через время $t$ в минутах, не вычисляя сами коэффициенты $k_1$ и $k_2$:

$T_1(t) = 100 \cdot (e^{-10k_1})^{t/10} = 100 \cdot (0.8)^{t/10}$

$T_2(t) = 100 \cdot (e^{-10k_2})^{t/10} = 100 \cdot (0.64)^{t/10}$

2. Нахождение времени, когда разность температур равна 25°C

Нам нужно найти время $t$, при котором разность температур $T_1(t) - T_2(t)$ будет равна $25^{\circ}C$. (Первое тело остывает медленнее, поэтому его температура всегда будет выше).

$T_1(t) - T_2(t) = 25$

$100 \cdot (0.8)^{t/10} - 100 \cdot (0.64)^{t/10} = 25$

Разделим обе части уравнения на 100:

$(0.8)^{t/10} - (0.64)^{t/10} = 0.25$

Заметим, что $0.64 = 0.8^2$. Подставим это в уравнение:

$(0.8)^{t/10} - (0.8^2)^{t/10} = 0.25$

$(0.8)^{t/10} - ((0.8)^{t/10})^2 = 0.25$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = (0.8)^{t/10}$. Уравнение примет вид:

$x - x^2 = 0.25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 0.25 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 0.5)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x = 0.5$.

3. Вычисление искомого времени t

Теперь вернемся к нашей замене $x = (0.8)^{t/10}$:

$(0.8)^{t/10} = 0.5$

Чтобы найти $t$, прологарифмируем обе части уравнения (можно использовать натуральный логарифм $\ln$):

$\ln((0.8)^{t/10}) = \ln(0.5)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем:

$\frac{t}{10} \ln(0.8) = \ln(0.5)$

Выразим $t$:

$t = 10 \cdot \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.8)}$

Подставим числовые значения логарифмов ($\ln(0.5) \approx -0.6931$, $\ln(0.8) \approx -0.2231$):

$t \approx 10 \cdot \frac{-0.6931}{-0.2231} \approx 10 \cdot 3.106 \approx 31.06$ минут.

Ответ: разность температур тел будет равна 25°C примерно через 31.06 минут после начала остывания.