Номер 2, страница 273 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 2, страница 273.

Условие.

2. 1) Перечислите основные свойства арифметических корней.

2) Преобразуйте выражение:

а) $ \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4} $;

б) $ \frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}} $;

в) $ \left(\sqrt[6]{\frac{27}{8}}\right)^{2} $;

г) $ \sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}} $.

3) Какое из чисел больше:

а) $ \sqrt[7]{128} $ или $ \sqrt[5]{4} $;

б) $ 2^{100} $ или $ 100^{20} $;

в) $ \sqrt[8]{26} $ или $ \sqrt[4]{5} $;

г) $ \sqrt[5]{5} $ или $ \sqrt[3]{3} $?

Решение 5.

1)

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, n-я степень которого равна $a$. Обозначается как $\sqrt[n]{a} = b$, где $a \ge 0$, $b \ge 0$, $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

Основные свойства арифметических корней (для $a \ge 0, b \ge 0$ и натуральных $n, m, k \ge 2$):

• Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
• Корень из частного равен частному корней (при $b > 0$): $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
• Возведение корня в степень: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$.
• Извлечение корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
• Основное свойство корня (изменение показателя корня и показателя степени подкоренного выражения): $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $m \in \mathbb{N}$).
• Для любого действительного числа $a$ и четного показателя корня $n = 2k$: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.

2)

а) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4}$, приведем корни к одному показателю. Наименьший общий показатель - 8.

Представим $\sqrt[4]{8}$ как корень 8-й степени: $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 2]{8^2} = \sqrt[8]{64}$.

Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:

$\sqrt[8]{64} \cdot \sqrt[8]{4} = \sqrt[8]{64 \cdot 4} = \sqrt[8]{256}$.

Так как $2^8 = 256$, то $\sqrt[8]{256} = 2$.

Можно также решить задачу с использованием степеней:

$\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4} = (2^3)^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} = 2^{3/4} \cdot 2^{2/8} = 2^{3/4} \cdot 2^{1/4} = 2^{3/4 + 1/4} = 2^{4/4} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

б) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}}$.

Упростим подкоренные выражения. $125 = 5^3$. $320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$.

$\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{3/6} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.

$\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.

Получаем: $\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt[3]{5}}$.

Представим в виде степеней: $\frac{5^{1/2}}{4 \cdot 5^{1/3}} = \frac{1}{4} \cdot 5^{1/2 - 1/3} = \frac{1}{4} \cdot 5^{3/6 - 2/6} = \frac{1}{4} \cdot 5^{1/6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[6]{5}}{4}$

в) Преобразуем выражение $(\sqrt[6]{\frac{27}{8}})^2$.

Воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$: $(\sqrt[6]{\frac{27}{8}})^2 = \sqrt[6]{(\frac{27}{8})^2}$.

Можно сократить показатель корня и показатель степени: $\sqrt[6]{(\frac{27}{8})^2} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.

Извлечем корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}}$.

Используем свойство корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}} = \frac{\sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2}}{\sqrt{c^8}}$.

По определению арифметического корня $\sqrt{x^2}=|x|$.

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$ (так как $a^2$ всегда неотрицательно).

$\sqrt{b^2} = |b|$.

$\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4| = c^4$ (так как $c^4$ всегда неотрицательно). Также, $c \ne 0$, так как стоит в знаменателе.

Собираем все вместе: $\frac{a^2 |b|}{c^4}$.

Ответ: $\frac{a^2 |b|}{c^4}$

3)

а) Сравним числа $\sqrt[7]{128}$ и $\sqrt[5]{4}$.

Упростим первое число: $\sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2^7} = 2$.

Теперь нужно сравнить $2$ и $\sqrt[5]{4}$.

Возведем оба числа в 5-ю степень. Так как функция $y=x^5$ возрастающая для положительных чисел, знак неравенства сохранится.

$2^5 = 32$.

$(\sqrt[5]{4})^5 = 4$.

Поскольку $32 > 4$, то $2 > \sqrt[5]{4}$.

Следовательно, $\sqrt[7]{128} > \sqrt[5]{4}$.

Ответ: $\sqrt[7]{128}$ больше.

б) Сравним числа $2^{100}$ и $100^{20}$.

Приведем числа к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 100 и 20 равен 20.

$2^{100} = 2^{5 \cdot 20} = (2^5)^{20} = 32^{20}$.

Теперь сравним $32^{20}$ и $100^{20}$.

Так как показатели степеней одинаковы, сравниваем основания.

$32 < 100$.

Следовательно, $32^{20} < 100^{20}$, а значит $2^{100} < 100^{20}$.

Ответ: $100^{20}$ больше.

в) Сравним числа $\sqrt[8]{26}$ и $\sqrt[4]{5}$.

Приведем корни к одному показателю. Наименьшее общее кратное для 8 и 4 равно 8.

Первое число уже имеет показатель 8: $\sqrt[8]{26}$.

Второе число: $\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[8]{25}$.

Теперь сравним $\sqrt[8]{26}$ и $\sqrt[8]{25}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения.

$26 > 25$.

Следовательно, $\sqrt[8]{26} > \sqrt[8]{25}$, а значит $\sqrt[8]{26} > \sqrt[4]{5}$.

Ответ: $\sqrt[8]{26}$ больше.

г) Сравним числа $\sqrt[5]{5}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15.

$\sqrt[5]{5} = \sqrt[5 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[15]{125}$.

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$ (так как $3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$).

Теперь сравним $\sqrt[15]{125}$ и $\sqrt[15]{243}$.

Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения.

$125 < 243$.

Следовательно, $\sqrt[15]{125} < \sqrt[15]{243}$, а значит $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$ больше.