Номер 2, страница 273 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 2, страница 273.
№2 (с. 273)
Условие. №2 (с. 273)
скриншот условия

2. 1) Перечислите основные свойства арифметических корней.
2) Преобразуйте выражение:
а) $ \sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4} $;
б) $ \frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}} $;
в) $ \left(\sqrt[6]{\frac{27}{8}}\right)^{2} $;
г) $ \sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}} $.
3) Какое из чисел больше:
а) $ \sqrt[7]{128} $ или $ \sqrt[5]{4} $;
б) $ 2^{100} $ или $ 100^{20} $;
в) $ \sqrt[8]{26} $ или $ \sqrt[4]{5} $;
г) $ \sqrt[5]{5} $ или $ \sqrt[3]{3} $?
Решение 5. №2 (с. 273)
1)
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, n-я степень которого равна $a$. Обозначается как $\sqrt[n]{a} = b$, где $a \ge 0$, $b \ge 0$, $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.
Основные свойства арифметических корней (для $a \ge 0, b \ge 0$ и натуральных $n, m, k \ge 2$):
- Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
- Корень из частного равен частному корней (при $b > 0$): $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
- Возведение корня в степень: $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$.
- Извлечение корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
- Основное свойство корня (изменение показателя корня и показателя степени подкоренного выражения): $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $m \in \mathbb{N}$).
- Для любого действительного числа $a$ и четного показателя корня $n = 2k$: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
2)
а) Чтобы преобразовать выражение $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4}$, приведем корни к одному показателю. Наименьший общий показатель - 8.
Представим $\sqrt[4]{8}$ как корень 8-й степени: $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4 \cdot 2]{8^2} = \sqrt[8]{64}$.
Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:
$\sqrt[8]{64} \cdot \sqrt[8]{4} = \sqrt[8]{64 \cdot 4} = \sqrt[8]{256}$.
Так как $2^8 = 256$, то $\sqrt[8]{256} = 2$.
Можно также решить задачу с использованием степеней:
$\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[8]{4} = (2^3)^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} = 2^{3/4} \cdot 2^{2/8} = 2^{3/4} \cdot 2^{1/4} = 2^{3/4 + 1/4} = 2^{4/4} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2
б) Преобразуем выражение $\frac{\sqrt[6]{125}}{\sqrt[3]{320}}$.
Упростим подкоренные выражения. $125 = 5^3$. $320 = 64 \cdot 5 = 4^3 \cdot 5$.
$\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{3/6} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.
$\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{5} = 4\sqrt[3]{5}$.
Получаем: $\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt[3]{5}}$.
Представим в виде степеней: $\frac{5^{1/2}}{4 \cdot 5^{1/3}} = \frac{1}{4} \cdot 5^{1/2 - 1/3} = \frac{1}{4} \cdot 5^{3/6 - 2/6} = \frac{1}{4} \cdot 5^{1/6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[6]{5}}{4}$
в) Преобразуем выражение $(\sqrt[6]{\frac{27}{8}})^2$.
Воспользуемся свойством $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$: $(\sqrt[6]{\frac{27}{8}})^2 = \sqrt[6]{(\frac{27}{8})^2}$.
Можно сократить показатель корня и показатель степени: $\sqrt[6]{(\frac{27}{8})^2} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.
Извлечем корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$
г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}}$.
Используем свойство корня из частного и произведения: $\sqrt{\frac{a^4 b^2}{c^8}} = \frac{\sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2}}{\sqrt{c^8}}$.
По определению арифметического корня $\sqrt{x^2}=|x|$.
$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$ (так как $a^2$ всегда неотрицательно).
$\sqrt{b^2} = |b|$.
$\sqrt{c^8} = \sqrt{(c^4)^2} = |c^4| = c^4$ (так как $c^4$ всегда неотрицательно). Также, $c \ne 0$, так как стоит в знаменателе.
Собираем все вместе: $\frac{a^2 |b|}{c^4}$.
Ответ: $\frac{a^2 |b|}{c^4}$
3)
а) Сравним числа $\sqrt[7]{128}$ и $\sqrt[5]{4}$.
Упростим первое число: $\sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2^7} = 2$.
Теперь нужно сравнить $2$ и $\sqrt[5]{4}$.
Возведем оба числа в 5-ю степень. Так как функция $y=x^5$ возрастающая для положительных чисел, знак неравенства сохранится.
$2^5 = 32$.
$(\sqrt[5]{4})^5 = 4$.
Поскольку $32 > 4$, то $2 > \sqrt[5]{4}$.
Следовательно, $\sqrt[7]{128} > \sqrt[5]{4}$.
Ответ: $\sqrt[7]{128}$ больше.
б) Сравним числа $2^{100}$ и $100^{20}$.
Приведем числа к одному показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 100 и 20 равен 20.
$2^{100} = 2^{5 \cdot 20} = (2^5)^{20} = 32^{20}$.
Теперь сравним $32^{20}$ и $100^{20}$.
Так как показатели степеней одинаковы, сравниваем основания.
$32 < 100$.
Следовательно, $32^{20} < 100^{20}$, а значит $2^{100} < 100^{20}$.
Ответ: $100^{20}$ больше.
в) Сравним числа $\sqrt[8]{26}$ и $\sqrt[4]{5}$.
Приведем корни к одному показателю. Наименьшее общее кратное для 8 и 4 равно 8.
Первое число уже имеет показатель 8: $\sqrt[8]{26}$.
Второе число: $\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[8]{25}$.
Теперь сравним $\sqrt[8]{26}$ и $\sqrt[8]{25}$.
Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения.
$26 > 25$.
Следовательно, $\sqrt[8]{26} > \sqrt[8]{25}$, а значит $\sqrt[8]{26} > \sqrt[4]{5}$.
Ответ: $\sqrt[8]{26}$ больше.
г) Сравним числа $\sqrt[5]{5}$ и $\sqrt[3]{3}$.
Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15.
$\sqrt[5]{5} = \sqrt[5 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[15]{125}$.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$ (так как $3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$).
Теперь сравним $\sqrt[15]{125}$ и $\sqrt[15]{243}$.
Так как показатели корней одинаковы, сравниваем подкоренные выражения.
$125 < 243$.
Следовательно, $\sqrt[15]{125} < \sqrt[15]{243}$, а значит $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}$ больше.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 273 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 273), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.