Номер 8, страница 274 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 8, страница 274.

Условие.

8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечислите ее основные свойства.

2) Постройте график функции:

а) $y = \log_4 x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 1)$;

в) $y = \log_5 x$;

г) $y = \log_{\frac{1}{4}} x + 1.

3) Какое число больше:

а) $\text{lg}\ 7$ или $3\ \text{lg}\ 2$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} 5$ или $\log_{\frac{1}{3}} 6$;

в) $\log_3 5$ или $\log_3 6$;

г) $\log_2 3$ или $\log_3 2$?

Решение 5.

1) Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a x$, где $a$ – заданное число, причем $a > 0$ и $a \neq 1$. Эта функция является обратной к показательной функции $y = a^x$.

Основные свойства логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Область определения функции – множество всех положительных действительных чисел: $D(f) = (0; +\infty)$.
• Область значений функции – множество всех действительных чисел: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• График любой логарифмической функции проходит через точку $(1; 0)$, так как $\log_a 1 = 0$.
• Функция является непрерывной на всей области определения.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика функции.
• Монотонность функции зависит от основания $a$:
  • Если $a > 1$, функция является возрастающей. То есть, для любых $x_2 > x_1 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_2 > \log_a x_1$.
  • Если $0 < a < 1$, функция является убывающей. То есть, для любых $x_2 > x_1 > 0$ выполняется неравенство $\log_a x_2 < \log_a x_1$.

Ответ: Дано определение и перечислены свойства логарифмической функции.

2) Для построения графиков функций найдем их области определения, асимптоты и несколько ключевых точек, а также определим тип преобразования.

а) $y = \log_4 x$

Это основная логарифмическая функция с основанием $a = 4$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Найдем ключевые точки:
Если $x=1$, то $y = \log_4 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
Если $x=4$, то $y = \log_4 4 = 1$. Точка $(4; 1)$.
Если $x=1/4$, то $y = \log_4 (1/4) = -1$. Точка $(1/4; -1)$.
График представляет собой кривую, которая проходит через найденные точки, приближается к оси $Oy$ снизу и медленно возрастает вправо.

Ответ: График функции $y = \log_4 x$ – это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$, $(4, 1)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.

б) $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 1)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ путем сдвига на 1 единицу вправо по оси $Ox$.
Основание $a = 1/5$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Область определения: $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$.
Вертикальная асимптота: $x=1$.
Найдем ключевые точки через преобразование:
Если $x-1=1$ (то есть $x=2$), то $y = \log_{\frac{1}{5}} 1 = 0$. Точка $(2; 0)$.
Если $x-1=1/5$ (то есть $x=6/5$), то $y = \log_{\frac{1}{5}} (1/5) = 1$. Точка $(6/5; 1)$.
Если $x-1=5$ (то есть $x=6$), то $y = \log_{\frac{1}{5}} 5 = -1$. Точка $(6; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 1)$ – это убывающая кривая, проходящая через точки $(6/5, 1)$, $(2, 0)$, $(6, -1)$ с вертикальной асимптотой $x=1$.

в) $y = \log_5 x$

Это основная логарифмическая функция с основанием $a = 5$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Найдем ключевые точки:
Если $x=1$, то $y = \log_5 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
Если $x=5$, то $y = \log_5 5 = 1$. Точка $(5; 1)$.
Если $x=1/5$, то $y = \log_5 (1/5) = -1$. Точка $(1/5; -1)$.

Ответ: График функции $y = \log_5 x$ – это возрастающая кривая, проходящая через точки $(1/5, -1)$, $(1, 0)$, $(5, 1)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.

г) $y = \log_{\frac{1}{4}} x + 1$

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ путем сдвига на 1 единицу вверх по оси $Oy$.
Основание $a = 1/4$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: $x=0$.
Найдем ключевые точки через преобразование. Для $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ точки: $(1, 0)$, $(4, -1)$, $(1/4, 1)$. Сдвигаем их на 1 вверх:
$(1, 0+1) \implies (1; 1)$.
$(4, -1+1) \implies (4; 0)$.
$(1/4, 1+1) \implies (1/4; 2)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x + 1$ – это убывающая кривая, проходящая через точки $(1/4, 2)$, $(1, 1)$, $(4, 0)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.

3) Сравним числа, используя свойства логарифмов и логарифмической функции.

а) $\lg 7$ или $3 \lg 2$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ для второго выражения:
$3 \lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8$.
Теперь сравним $\lg 7$ и $\lg 8$.
Функция $y = \lg x$ (десятичный логарифм) имеет основание $a=10 > 1$, значит, она возрастающая.
Для возрастающей функции, если аргумент больше, то и значение функции больше.
Так как $8 > 7$, то $\lg 8 > \lg 7$.
Следовательно, $3 \lg 2 > \lg 7$.

Ответ: $3 \lg 2 > \lg 7$.

б) $\log_{\frac{1}{3}} 5$ или $\log_{\frac{1}{3}} 6$

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ имеет основание $a = 1/3$. Так как $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей.
Для убывающей функции, если аргумент больше, то значение функции меньше.
Поскольку $6 > 5$, то $\log_{\frac{1}{3}} 6 < \log_{\frac{1}{3}} 5$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 5 > \log_{\frac{1}{3}} 6$.

в) $\log_3 5$ или $\log_3 6$

Функция $y = \log_3 x$ имеет основание $a = 3 > 1$, значит, она возрастающая.
Для возрастающей функции, если аргумент больше, то и значение функции больше.
Поскольку $6 > 5$, то $\log_3 6 > \log_3 5$.

Ответ: $\log_3 6 > \log_3 5$.

г) $\log_2 3$ или $\log_3 2$

Сравним каждое из этих чисел с единицей.
Рассмотрим $\log_2 3$. Основание $2 > 1$. Так как аргумент $3 > 2^1$, то $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$.
Рассмотрим $\log_3 2$. Основание $3 > 1$. Так как аргумент $2 < 3^1$, то $\log_3 2 < \log_3 3 = 1$.
Поскольку $\log_2 3 > 1$, а $\log_3 2 < 1$, то очевидно, что $\log_2 3 > \log_3 2$.

Ответ: $\log_2 3 > \log_3 2$.