Номер 10, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 10, страница 275.

Условие.

10. 1) Запишите формулу производной для функции $y = e^x$, $y = a^x$.

2) Найдите производную функции:

а) $v(x) = 5 - 2e^{4 - 3x}$;

б) $u(x) = 3 \cdot 5^{7x - 1}$;

в) $g(x) = e^{-3x}$;

г) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$.

3) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $v(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$;

б) $u(x) = 5e^{0.7x}$;

в) $g(x) = e^{-3x}$;

г) $f(x) = e^{2x}$.

Решение 5.

1)

Формула производной для функции $y = e^x$:

$(e^x)' = e^x$

Формула производной для функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$):

$(a^x)' = a^x \ln a$

2) а) Для функции $v(x) = 5 - 2e^{4 - 3x}$ находим производную. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ и то, что производная константы равна нулю.

$v'(x) = (5)' - (2e^{4 - 3x})' = 0 - 2 \cdot e^{4 - 3x} \cdot (4 - 3x)' = -2e^{4 - 3x} \cdot (-3) = 6e^{4 - 3x}$.

Ответ: $v'(x) = 6e^{4 - 3x}$

2) б) Для функции $u(x) = 3 \cdot 5^{7x - 1}$ находим производную. Используем правило дифференцирования сложной функции $(a^{f(x)})' = a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x)$.

$u'(x) = 3 \cdot (5^{7x - 1})' = 3 \cdot 5^{7x - 1} \cdot \ln 5 \cdot (7x - 1)' = 3 \cdot 5^{7x - 1} \cdot \ln 5 \cdot 7 = 21 \cdot 5^{7x - 1} \ln 5$.

Ответ: $u'(x) = 21 \cdot 5^{7x - 1} \ln 5$

2) в) Для функции $g(x) = e^{-3x}$ находим производную, используя правило для сложной функции.

$g'(x) = (e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3x)' = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$.

Ответ: $g'(x) = -3e^{-3x}$

2) г) Для функции $f(x) = (\frac{1}{3})^{2x}$ находим производную.

$f'(x) = ((\frac{1}{3})^{2x})' = (\frac{1}{3})^{2x} \cdot \ln(\frac{1}{3}) \cdot (2x)' = (\frac{1}{3})^{2x} \cdot (-\ln 3) \cdot 2 = -2(\frac{1}{3})^{2x} \ln 3$.

Ответ: $f'(x) = -2(\frac{1}{3})^{2x} \ln 3$

3) а) Для функции $v(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$ находим общий вид первообразных. Используем формулу $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.

$V(x) = \int(e^{5x} - 7e^{-4x})dx = \int e^{5x}dx - 7\int e^{-4x}dx = \frac{1}{5}e^{5x} - 7\left(\frac{1}{-4}e^{-4x}\right) + C = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$.

Ответ: $V(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$

3) б) Для функции $u(x) = 5e^{0.7x}$ находим общий вид первообразных.

$U(x) = \int 5e^{0.7x}dx = 5\int e^{0.7x}dx = 5 \cdot \frac{1}{0.7}e^{0.7x} + C = \frac{5}{7/10}e^{0.7x} + C = \frac{50}{7}e^{0.7x} + C$.

Ответ: $U(x) = \frac{50}{7}e^{0.7x} + C$

3) в) Для функции $g(x) = e^{-3x}$ находим общий вид первообразных.

$G(x) = \int e^{-3x}dx = \frac{1}{-3}e^{-3x} + C = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$.

Ответ: $G(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$

3) г) Для функции $f(x) = e^{2x}$ находим общий вид первообразных.

$F(x) = \int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + C$