Номер 6, страница 274 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 6, страница 274.

Условие.

6. 1) Дайте определение логарифма числа.

2) Найдите:

а) $\log_2 16 \sqrt{2}$; б) $\log_{0.2} 25$; в) $\lg 0.01$; г) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$.

3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его помощью вычислите:

а) $3^{2 + \log_3 5}$; б) $(\frac{1}{2})^{1 + \log_2 3}$; в) $5^{-1 + \log_5 2}$; г) $0.2^{1 + \log_{0.2} 5}$.

Решение 5.

1) Дайте определение логарифма числа.

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Формула определения логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

2) Найдите:

а) $\log_2 16\sqrt{2}$

Представим число $16\sqrt{2}$ как степень с основанием 2.
Так как $16 = 2^4$ и $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, то $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}} = 2^{4,5}$.
Следовательно, $\log_2 16\sqrt{2} = \log_2 2^{4,5} = 4,5$.
Ответ: $4,5$

б) $\log_{0,2} 25$

Обозначим $\log_{0,2} 25 = x$. По определению логарифма, $0,2^x = 25$.
Представим $0,2$ и $25$ как степени с одинаковым основанием 5.
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$25 = 5^2$
Подставим в уравнение: $(5^{-1})^x = 5^2$, что равносильно $5^{-x} = 5^2$.
Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = 2$, откуда $x = -2$.
Ответ: $-2$

в) $\lg 0,01$

Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10.
$\lg 0,01 = \log_{10} 0,01$.
Представим $0,01$ как степень 10: $0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.
Следовательно, $\log_{10} 10^{-2} = -2$.
Ответ: $-2$

г) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3}$

Обозначим $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3} = x$. По определению, $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$.
Представим обе части как степени с основанием 3.
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
Подставим в уравнение: $(3^{-1})^x = 3^{\frac{1}{2}}$, что равносильно $3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Отсюда $-x = \frac{1}{2}$, то есть $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-0,5$

3) Запишите основное логарифмическое тождество. С его помощью вычислите:

Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$ (при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$).

а) $3^{2 + \log_3 5}$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:
$3^{2 + \log_3 5} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 5}$.
Применяя основное логарифмическое тождество, имеем $3^{\log_3 5} = 5$.
Тогда выражение равно $9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: $45$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{1 + \log_2 3}$

Используя свойство степеней, получаем:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{1 + \log_2 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 3}$.
Преобразуем второй множитель: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 3} = (2^{-1})^{\log_2 3} = 2^{-\log_2 3} = 2^{\log_2 3^{-1}} = 2^{\log_2 \frac{1}{3}}$.
По основному тождеству, $2^{\log_2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Тогда выражение равно $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

в) $5^{-1 + \log_5 2}$

Используя свойство степеней, получаем:
$5^{-1 + \log_5 2} = 5^{-1} \cdot 5^{\log_5 2}$.
$5^{-1} = \frac{1}{5}$. По основному тождеству, $5^{\log_5 2} = 2$.
Тогда выражение равно $\frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

г) $0,2^{1 + \log_{0,2} 5}$

Используя свойство степеней, получаем:
$0,2^{1 + \log_{0,2} 5} = 0,2^1 \cdot 0,2^{\log_{0,2} 5}$.
По основному логарифмическому тождеству, $0,2^{\log_{0,2} 5} = 5$.
Тогда выражение равно $0,2 \cdot 5 = 1$.
Ответ: $1$