Номер 7, страница 274 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 7, страница 274.

Условие.

7. 1) Перечислите основные свойства логарифмов.

2) Прологарифмируйте по основанию $a$ выражение $(c > 0, b > 0):$

a) $16b^7 \sqrt[5]{c}$ при $a = 2;$

б) $\frac{c^4}{\sqrt[3]{100 b^n}}$ при $a = 10;$

в) $\frac{27 \sqrt{b}}{c^4}$ при $a = 3;$

г) $\frac{0,49 b^3}{c^5 \sqrt{c}}$ при $a = 0,7.$

3) Найдите $x$, если:

a) $\log_3 x = 2 \log_3 7 + \frac{2}{3} \log_3 27 - \frac{3}{2} \log_3 16;$

б) $\log_2 x = 2 \log_2 5 - \frac{1}{3} \log_2 8 + \log_2 0,2;$

в) $\log_5 x = \log_5 1,5 + \frac{1}{3} \log_5 8;$

г) $\lg x = 1 + 2 \lg 3 - \frac{2}{3} \lg 125.$

Решение 5.

1) Основные свойства логарифмов (для $a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0$):

• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a x} = x$
• Логарифм единицы: $\log_a 1 = 0$
• Логарифм основания: $\log_a a = 1$
• Логарифм произведения: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• Логарифм частного: $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$
• Логарифм степени: $\log_a(x^p) = p \log_a x$
• Формула перехода к новому основанию: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ (для $b > 0, b \neq 1$)

2)

а) Прологарифмируем выражение $16b^7 \sqrt[5]{c}$ по основанию $a=2$. Используем свойства логарифма произведения и степени:
$\log_2(16b^7 \sqrt[5]{c}) = \log_2 16 + \log_2 b^7 + \log_2 \sqrt[5]{c}$
Так как $16 = 2^4$ и $\sqrt[5]{c} = c^{1/5}$, получаем:
$\log_2(2^4) + 7\log_2 b + \frac{1}{5}\log_2 c = 4 + 7\log_2 b + \frac{1}{5}\log_2 c$
Ответ: $4 + 7\log_2 b + \frac{1}{5}\log_2 c$.

б) Прологарифмируем выражение $\frac{c^4}{\sqrt[3]{100 b^n}}$ по основанию $a=10$ (десятичный логарифм $\lg$). Используем свойства логарифма частного, произведения и степени:
$\lg\left(\frac{c^4}{\sqrt[3]{100 b^n}}\right) = \lg(c^4) - \lg(\sqrt[3]{100 b^n}) = 4\lg c - \lg((100 b^n)^{1/3})$
$= 4\lg c - \frac{1}{3}\lg(100 b^n) = 4\lg c - \frac{1}{3}(\lg 100 + \lg b^n)$
Так как $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$, получаем:
$4\lg c - \frac{1}{3}(2 + n\lg b) = 4\lg c - \frac{2}{3} - \frac{n}{3}\lg b$
Ответ: $4\lg c - \frac{2}{3} - \frac{n}{3}\lg b$.

в) Прологарифмируем выражение $\frac{27 \sqrt{b}}{c^4}$ по основанию $a=3$. Используем свойства логарифма частного, произведения и степени:
$\log_3\left(\frac{27 \sqrt{b}}{c^4}\right) = \log_3(27 \sqrt{b}) - \log_3(c^4) = \log_3 27 + \log_3 \sqrt{b} - 4\log_3 c$
Так как $27 = 3^3$ и $\sqrt{b} = b^{1/2}$, получаем:
$\log_3(3^3) + \frac{1}{2}\log_3 b - 4\log_3 c = 3 + \frac{1}{2}\log_3 b - 4\log_3 c$
Ответ: $3 + \frac{1}{2}\log_3 b - 4\log_3 c$.

г) Прологарифмируем выражение $\frac{0,49 b^3}{c^5 \sqrt{c}}$ по основанию $a=0,7$. Сначала упростим знаменатель: $c^5 \sqrt{c} = c^5 c^{1/2} = c^{5.5} = c^{11/2}$.
$\log_{0,7}\left(\frac{0,49 b^3}{c^{11/2}}\right) = \log_{0,7}(0,49 b^3) - \log_{0,7}(c^{11/2})$
$= \log_{0,7}(0,49) + \log_{0,7}(b^3) - \frac{11}{2}\log_{0,7} c$
Так как $0,49 = (0,7)^2$, то $\log_{0,7}(0,49) = 2$.
$2 + 3\log_{0,7} b - \frac{11}{2}\log_{0,7} c$
Ответ: $2 + 3\log_{0,7} b - \frac{11}{2}\log_{0,7} c$.

3)

а) $\log_3 x = 2 \log_3 7 + \frac{2}{3} \log_3 27 - \frac{3}{2} \log_3 16$
Преобразуем правую часть, используя свойство логарифма степени $p \log_a b = \log_a b^p$:
$\log_3 x = \log_3 7^2 + \log_3 27^{2/3} - \log_3 16^{3/2}$
Вычисляем значения степеней: $7^2 = 49$, $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$, $16^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$.
$\log_3 x = \log_3 49 + \log_3 9 - \log_3 64$
Используем свойства логарифма произведения и частного:
$\log_3 x = \log_3(49 \cdot 9) - \log_3 64 = \log_3\left(\frac{49 \cdot 9}{64}\right) = \log_3\left(\frac{441}{64}\right)$
Следовательно, $x = \frac{441}{64}$.
Ответ: $x = \frac{441}{64}$.

б) $\log_2 x = 2 \log_2 5 - \frac{1}{3} \log_2 8 + \log_2 0,2$
Преобразуем правую часть:
$\log_2 x = \log_2 5^2 - \log_2 8^{1/3} + \log_2 0,2$
Вычисляем значения: $5^2 = 25$, $8^{1/3} = 2$, $0,2 = \frac{1}{5}$.
$\log_2 x = \log_2 25 - \log_2 2 + \log_2 \frac{1}{5}$
Объединяем логарифмы:
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{25 \cdot \frac{1}{5}}{2}\right) = \log_2\left(\frac{5}{2}\right) = \log_2(2,5)$
Следовательно, $x=2,5$.
Ответ: $x = 2,5$.

в) $\log_5 x = \log_5 1,5 + \frac{1}{3} \log_5 8$
Преобразуем правую часть:
$\log_5 x = \log_5 1,5 + \log_5 8^{1/3}$
Вычисляем степень: $8^{1/3} = 2$.
$\log_5 x = \log_5 1,5 + \log_5 2$
Используем свойство логарифма произведения:
$\log_5 x = \log_5(1,5 \cdot 2) = \log_5 3$
Следовательно, $x=3$.
Ответ: $x = 3$.

г) $\lg x = 1 + 2 \lg 3 - \frac{2}{3} \lg 125$
Представим $1$ как десятичный логарифм: $1 = \lg 10$.
$\lg x = \lg 10 + 2 \lg 3 - \frac{2}{3} \lg 125$
Преобразуем правую часть:
$\lg x = \lg 10 + \lg 3^2 - \lg 125^{2/3}$
Вычисляем степени: $3^2=9$, $125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25$.
$\lg x = \lg 10 + \lg 9 - \lg 25$
Объединяем логарифмы:
$\lg x = \lg\left(\frac{10 \cdot 9}{25}\right) = \lg\left(\frac{90}{25}\right) = \lg\left(\frac{18}{5}\right) = \lg(3,6)$
Следовательно, $x=3,6$.
Ответ: $x = 3,6$.