Номер 12, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 12, страница 275.

Условие.

12. 1) Какую производную имеет степенная функция $y = x^{\alpha}$?

2) Постройте график функции и найдите ее производную:

а) $y = x^7$; б) $y = x^{-4}$; в) $y = x^{-0,3}$; г) $y = x^{\sqrt{2}}$.

3) Найдите приближенное значение:

а) $\sqrt[5]{32,02}$; б) $\sqrt[7]{127,9}$; в) $\sqrt[3]{64,3}$; г) $\sqrt[4]{80,6}$.

Решение 5.

1) Какую производную имеет степенная функция $y = x^{\alpha}$?

Степенная функция $y = x^{\alpha}$, где $\alpha$ - любое действительное число, имеет производную, которая находится по следующему правилу (формула производной степенной функции):

$y' = (x^{\alpha})' = \alpha \cdot x^{\alpha-1}$

Это означает, что для нахождения производной нужно показатель степени $\alpha$ вынести в качестве множителя, а саму степень уменьшить на единицу.

Ответ: $y' = \alpha x^{\alpha-1}$.

2) Постройте график функции и найдите ее производную:

а) $y = x^7$

Нахождение производной:

Используем формулу производной степенной функции при $\alpha = 7$:

$y' = (x^7)' = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$.

Построение графика:

График функции $y = x^7$ — это кривая, обладающая следующими свойствами:

• Область определения: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной ($(-x)^7 = -x^7$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
• График проходит через точки (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
• При $x > 1$ функция очень быстро возрастает, а при $x < -1$ очень быстро убывает. График "прижимается" к оси Y сильнее, чем график $y=x^3$ или $y=x^5$.

Ответ: производная $y' = 7x^6$. График - нечетная функция, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

б) $y = x^{-4}$

Нахождение производной:

Используем формулу при $\alpha = -4$:

$y' = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

Построение графика:

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$. Свойства графика:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все положительные числа, $(0; +\infty)$, так как $x^4$ всегда неотрицательно.
• Функция является четной ($( -x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$), поэтому ее график симметричен относительно оси Y.
• Ось Y ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$ значение $y \to +\infty$.
• Ось X ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$.
• График проходит через точки (1, 1) и (-1, 1) и расположен в I и II координатных четвертях.

Ответ: производная $y' = -4x^{-5}$. График - четная функция, симметричная относительно оси Y, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

в) $y = x^{-0,3}$

Нахождение производной:

Используем формулу при $\alpha = -0,3$:

$y' = (x^{-0,3})' = -0,3 \cdot x^{-0,3-1} = -0,3x^{-1,3}$.

Построение графика:

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^{0,3}} = \frac{1}{\sqrt[10]{x^3}}$. Свойства графика:

• Область определения для степенной функции с нецелым показателем обычно рассматривается для $x > 0$. Итак, область определения: $(0; +\infty)$.
• Область значений: $(0; +\infty)$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• Ось Y ($x=0$) является вертикальной асимптотой (при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$).
• Ось X ($y=0$) является горизонтальной асимптотой (при $x \to +\infty$, $y \to 0$).
• График проходит через точку (1, 1).

Ответ: производная $y' = -0,3x^{-1,3}$. График - убывающая кривая в I координатной четверти с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

г) $y = x^{\sqrt{2}}$

Нахождение производной:

Используем формулу при $\alpha = \sqrt{2}$:

$y' = (x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} \cdot x^{\sqrt{2}-1}$.

Построение графика:

Показатель степени $\sqrt{2} \approx 1.414$ - иррациональное число. Свойства графика:

• Область определения: $x \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$.
• Область значений: $y \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График начинается в точке (0, 0) и проходит через точку (1, 1).
• Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, график функции лежит между графиками $y=x$ и $y=x^2$. Кривая является выпуклой вниз (вогнутой).

Ответ: производная $y' = \sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}$. График - возрастающая кривая, выходящая из начала координат, расположенная в I координатной четверти.

3) Найдите приближенное значение:

Для нахождения приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$.

а) $\sqrt[5]{32,02}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x} = x^{1/5}$.

Выберем точку $x_0 = 32$, так как $\sqrt[5]{32} = 2$ легко вычисляется.

Тогда $\Delta x = 32,02 - 32 = 0,02$.

Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{5})x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Вычислим значения функции и ее производной в точке $x_0 = 32$:

$f(32) = \sqrt[5]{32} = 2$.

$f'(32) = \frac{1}{5\sqrt[5]{32^4}} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt[5]{32})^4} = \frac{1}{5 \cdot 2^4} = \frac{1}{5 \cdot 16} = \frac{1}{80}$.

Подставим значения в формулу приближения:

$\sqrt[5]{32,02} \approx f(32) + f'(32) \cdot \Delta x = 2 + \frac{1}{80} \cdot 0,02 = 2 + \frac{0,02}{80} = 2 + \frac{2}{8000} = 2 + \frac{1}{4000} = 2 + 0,00025 = 2,00025$.

Ответ: $2,00025$.

б) $\sqrt[7]{127,9}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[7]{x} = x^{1/7}$.

Выберем точку $x_0 = 128$, так как $\sqrt[7]{128} = 2$.

Тогда $\Delta x = 127,9 - 128 = -0,1$.

Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-6/7} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 128$:

$f(128) = \sqrt[7]{128} = 2$.

$f'(128) = \frac{1}{7\sqrt[7]{128^6}} = \frac{1}{7 \cdot (\sqrt[7]{128})^6} = \frac{1}{7 \cdot 2^6} = \frac{1}{7 \cdot 64} = \frac{1}{448}$.

Подставим в формулу приближения:

$\sqrt[7]{127,9} \approx f(128) + f'(128) \cdot \Delta x = 2 + \frac{1}{448} \cdot (-0,1) = 2 - \frac{0,1}{448} = 2 - \frac{1}{4480}$.

Так как $\frac{1}{4480} \approx 0,000223$, то $2 - 0,000223 = 1,999777$.

Ответ: $\approx 1,999777$.

в) $\sqrt[3]{64,3}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

Выберем точку $x_0 = 64$, так как $\sqrt[3]{64} = 4$.

Тогда $\Delta x = 64,3 - 64 = 0,3$.

Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 64$:

$f(64) = \sqrt[3]{64} = 4$.

$f'(64) = \frac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{64})^2} = \frac{1}{3 \cdot 4^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$.

Подставим в формулу приближения:

$\sqrt[3]{64,3} \approx f(64) + f'(64) \cdot \Delta x = 4 + \frac{1}{48} \cdot 0,3 = 4 + \frac{0,3}{48} = 4 + \frac{3}{480} = 4 + \frac{1}{160} = 4 + 0,00625 = 4,00625$.

Ответ: $4,00625$.

г) $\sqrt[4]{80,6}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{1/4}$.

Выберем точку $x_0 = 81$, так как $\sqrt[4]{81} = 3$.

Тогда $\Delta x = 80,6 - 81 = -0,4$.

Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 81$:

$f(81) = \sqrt[4]{81} = 3$.

$f'(81) = \frac{1}{4\sqrt[4]{81^3}} = \frac{1}{4 \cdot (\sqrt[4]{81})^3} = \frac{1}{4 \cdot 3^3} = \frac{1}{4 \cdot 27} = \frac{1}{108}$.

Подставим в формулу приближения:

$\sqrt[4]{80,6} \approx f(81) + f'(81) \cdot \Delta x = 3 + \frac{1}{108} \cdot (-0,4) = 3 - \frac{0,4}{108} = 3 - \frac{4}{1080} = 3 - \frac{1}{270}$.

Так как $\frac{1}{270} \approx 0,0037$, то $3 - 0,0037 = 2,9963$.

Ответ: $\approx 2,9963$.