Номер 4, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 4, страница 277.

Условие.

4. Докажите, что число $10^{56} - 1$ делится на 3 и 11.

Решение 1.

Решение 5.

Чтобы доказать, что число $10^{56} - 1$ делится на 3 и 11, докажем его делимость на каждый из этих делителей по отдельности, используя теорию сравнений (арифметику по модулю).

Доказательство делимости на 3

Нам необходимо доказать, что остаток от деления числа $10^{56} - 1$ на 3 равен нулю. На языке сравнений это записывается так: $10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Сначала рассмотрим основание степени, число 10, по модулю 3. Поскольку $10 = 3 \times 3 + 1$, остаток от деления равен 1. Таким образом:

$10 \equiv 1 \pmod{3}$

Согласно свойству степеней для сравнений, мы можем возвести обе части в степень 56:

$10^{56} \equiv 1^{56} \pmod{3}$

Так как $1^{56} = 1$, получаем:

$10^{56} \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь вычтем 1 из обеих частей сравнения:

$10^{56} - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{3}$

$10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$

Это сравнение означает, что число $10^{56} - 1$ делится на 3 без остатка.

Ответ: Делимость на 3 доказана.

Доказательство делимости на 11

Действуем аналогично. Нам нужно доказать, что $10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.

Рассмотрим число 10 по модулю 11. Поскольку $10 = 11 - 1$, мы можем записать:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$

Возведем обе части сравнения в степень 56:

$10^{56} \equiv (-1)^{56} \pmod{11}$

Поскольку 56 — это четное число, то $(-1)^{56} = 1$. Следовательно:

$10^{56} \equiv 1 \pmod{11}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем искомый результат:

$10^{56} - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{11}$

$10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{11}$

Это доказывает, что число $10^{56} - 1$ делится на 11 без остатка.

Ответ: Делимость на 11 доказана.

Таким образом, мы доказали, что число $10^{56} - 1$ делится и на 3, и на 11. Утверждение задачи доказано.