Номер 3, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 3, страница 277.

Условие.

3. К числу $523$ допишите две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на:

a) $3$ и $5$;

б) $8$ и $9$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $523xy$, где $x$ и $y$ – это две цифры, которые нужно дописать. Это число можно представить в виде $52300 + 10x + y$.

а) 3 и 5

Чтобы число делилось одновременно на 3 и на 5, оно должно удовлетворять признакам делимости на оба этих числа. Делимость на 3 и 5 равносильна делимости на их наименьшее общее кратное, то есть $3 \times 5 = 15$.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, цифра $y$ может быть равна 0 или 5.

2. Признак делимости на 3: сумма всех цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа $523xy$ равна $5 + 2 + 3 + x + y = 10 + x + y$. Эта сумма должна быть кратна 3.

Рассмотрим два возможных случая для $y$:

Случай 1: $y = 0$.
Сумма цифр становится $10 + x + 0 = 10 + x$. Чтобы эта сумма делилась на 3, $x$ может принимать значения 2, 5 или 8 (так как $10+2=12$, $10+5=15$, $10+8=18$, и все эти суммы кратны 3). Получаем следующие пары цифр для дописывания: 20, 50, 80.

Случай 2: $y = 5$.
Сумма цифр становится $10 + x + 5 = 15 + x$. Так как 15 уже делится на 3, то для делимости всей суммы на 3 необходимо, чтобы $x$ также делился на 3. Возможные значения для $x$: 0, 3, 6, 9. Получаем следующие пары цифр для дописывания: 05, 35, 65, 95.

Ответ: можно дописать одну из следующих пар цифр: 05, 20, 35, 50, 65, 80, 95.

б) 8 и 9

Чтобы число делилось на 8 и 9, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное. Так как числа 8 и 9 взаимно просты (не имеют общих делителей кроме 1), их НОК равно их произведению: $НОК(8, 9) = 8 \times 9 = 72$.

Итак, искомое число $523xy$ должно делиться на 72. Представим это число в виде суммы $52300 + \overline{xy}$, где $\overline{xy}$ — это двузначное число, образованное цифрами $x$ и $y$.

Разделим 52300 на 72, чтобы найти остаток:

$52300 \div 72 = 726$ (остаток $28$), что можно записать как $52300 = 72 \times 726 + 28$.

Тогда наше число можно представить в виде:

$523xy = (72 \times 726 + 28) + \overline{xy} = 72 \times 726 + (28 + \overline{xy})$.

Для того чтобы всё число $523xy$ делилось на 72, необходимо, чтобы сумма $(28 + \overline{xy})$ также делилась на 72.

Поскольку $x$ и $y$ — это цифры, число $\overline{xy}$ может принимать значения от 00 до 99. Следовательно, выражение $28 + \overline{xy}$ может принимать значения в диапазоне от $28 + 0 = 28$ до $28 + 99 = 127$.

В этом диапазоне $[28, 127]$ есть только одно число, кратное 72, — это само число 72.

Значит, должно выполняться равенство: $28 + \overline{xy} = 72$.

Отсюда находим значение $\overline{xy}$:

$\overline{xy} = 72 - 28 = 44$.

Таким образом, нужно дописать цифры 4 и 4. Полученное число — 52344.

Проверка: $5+2+3+4+4=18$. Сумма цифр 18 делится на 9. Число из последних трех цифр, 344, делится на 8 ($344 \div 8=43$). Оба признака выполняются.

Ответ: 44.