Номер 2, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 2, страница 277.

Условие.

2. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3, а их произведение — на 6.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Докажем, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3
Обозначим три последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ – любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).
Найдем их сумму $S$:
$S = n + (n+1) + (n+2)$
Упростим выражение, сложив все члены:
$S = 3n + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 3(n+1)$
Поскольку $n$ является натуральным числом, то $n+1$ также является натуральным числом. Выражение $3(n+1)$ представляет собой произведение числа 3 на целое число, что по определению означает, что сумма $S$ делится на 3 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Сумма трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3.

Докажем, что их произведение делится на 6
Рассмотрим произведение $P$ тех же трех последовательных натуральных чисел: $n$, $n+1$ и $n+2$.
$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$
Чтобы доказать, что число делится на 6, нужно доказать, что оно делится одновременно и на 2, и на 3 (поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми).

1. Докажем делимость на 2.
Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным (т.е. делится на 2). В нашей последовательности из трех чисел ($n$, $n+1$, $n+2$) гарантированно есть как минимум одно четное число. Произведение, в котором хотя бы один из множителей является четным, всегда делится на 2.

2. Докажем делимость на 3.
Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно и только одно обязательно делится на 3. Это можно показать, рассмотрев остатки от деления первого числа $n$ на 3:
- Если $n$ делится на 3, то множитель $n$ обеспечивает делимость всего произведения на 3.
- Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1 (т.е. $n = 3k+1$ для некоторого целого $k$), то третий член последовательности $n+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3.
- Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2 (т.е. $n = 3k+2$), то второй член последовательности $n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3.
В любом случае, один из множителей в произведении $P$ делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку произведение $P$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.
Ответ: Произведение трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 6.