Номер 11, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 11, страница 278.

Условие.

11. Пользуясь формулой $(1+x)^n \approx 1 + nx$, вычислите приближенно:

а) $1,002^5$;

б) $0,997^4$;

в) $2,004^3$;

г) $3,01^5$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Чтобы вычислить $1.002^5$ с помощью формулы $(1+x)^n \approx 1 + nx$, представим основание $1.002$ в виде $1 + 0.002$.

В данном случае $x = 0.002$, а степень $n = 5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$1.002^5 = (1 + 0.002)^5 \approx 1 + 5 \cdot 0.002 = 1 + 0.01 = 1.01$.

Ответ: $1.01$.

б)

Для вычисления $0.997^4$ представим основание $0.997$ в виде $1 - 0.003$ или $1 + (-0.003)$.

Здесь $x = -0.003$, а степень $n = 4$.

Применяем формулу приближенного вычисления:

$0.997^4 = (1 - 0.003)^4 \approx 1 + 4 \cdot (-0.003) = 1 - 0.012 = 0.988$.

Ответ: $0.988$.

в)

Выражение $2.004^3$ напрямую не соответствует виду $(1+x)^n$, так как основание не близко к единице. Преобразуем его, вынеся за скобки $2$:

$2.004^3 = (2 \cdot 1.002)^3 = 2^3 \cdot 1.002^3 = 8 \cdot 1.002^3$.

Теперь применим формулу приближенного вычисления к множителю $1.002^3$. Здесь $x = 0.002$ и $n = 3$.

$1.002^3 = (1 + 0.002)^3 \approx 1 + 3 \cdot 0.002 = 1 + 0.006 = 1.006$.

Подставим полученное значение обратно:

$2.004^3 \approx 8 \cdot 1.006 = 8.048$.

Ответ: $8.048$.

г)

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение $3.01^5$. Основание $3.01$ не близко к единице, поэтому вынесем за скобки $3$:

$3.01^5 = (3 \cdot (1 + \frac{0.01}{3}))^5 = (3 \cdot (1 + \frac{1}{300}))^5 = 3^5 \cdot (1 + \frac{1}{300})^5$.

Сначала вычислим $3^5 = 243$.

Затем применим формулу $(1+x)^n \approx 1 + nx$ к выражению $(1 + \frac{1}{300})^5$. В этом случае $x = \frac{1}{300}$ и $n = 5$.

$(1 + \frac{1}{300})^5 \approx 1 + 5 \cdot \frac{1}{300} = 1 + \frac{5}{300} = 1 + \frac{1}{60}$.

Теперь объединим результаты:

$3.01^5 \approx 243 \cdot (1 + \frac{1}{60}) = 243 + \frac{243}{60}$.

Упростим дробь: $\frac{243}{60} = \frac{81}{20} = 4.05$.

Таким образом, окончательный результат:

$3.01^5 \approx 243 + 4.05 = 247.05$.

Ответ: $247.05$.