Номер 18, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 18, страница 278.

Условие.

Сравните числа (18–19).

18. а) $ \frac{4}{\lg^2 \frac{1}{2}} $ и $ \frac{7}{\lg^2 \frac{1}{2}} $;

б) $ (\sqrt{5}+2) $ и $ \sqrt{17} $;

в) $ \log_3 7 $ и $ \log_7 3 $;

г) $ (\sqrt{7}+3) $ и $ \sqrt{31} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Сравним числа $\frac{4}{\lg \frac{1}{2}}$ и $\frac{7}{\lg \frac{1}{2}}$.
Знаменатель дробей $\lg \frac{1}{2}$ является десятичным логарифмом ($\log_{10}$) числа, которое меньше 1. Так как основание логарифма $10 > 1$, а аргумент $0 < \frac{1}{2} < 1$, то значение логарифма отрицательно: $\lg \frac{1}{2} < 0$.
Мы сравниваем две дроби с одинаковым отрицательным знаменателем. Пусть $D = \lg \frac{1}{2}$, где $D < 0$. Нам нужно сравнить $\frac{4}{D}$ и $\frac{7}{D}$.
Сравним числители: $4 < 7$.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $D$ знак неравенства меняется на противоположный.
Следовательно, $\frac{4}{D} > \frac{7}{D}$.
Таким образом, $\frac{4}{\lg \frac{1}{2}} > \frac{7}{\lg \frac{1}{2}}$.
Ответ: $\frac{4}{\lg \frac{1}{2}} > \frac{7}{\lg \frac{1}{2}}$.

б) Сравним числа $(\sqrt{5} + 2)$ и $\sqrt{17}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{17})^2 = 17$.
Теперь сравним $9 + 4\sqrt{5}$ и $17$.
Вычтем 9 из обоих выражений: $4\sqrt{5}$ и $17 - 9 = 8$.
Разделим оба выражения на 4: $\sqrt{5}$ и $2$.
Возведем в квадрат, так как оба числа положительны: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$.
Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$.
Возвращаясь к исходным сравнениям, получаем: $4\sqrt{5} > 8 \implies 9 + 4\sqrt{5} > 17 \implies (\sqrt{5} + 2)^2 > (\sqrt{17})^2$.
Поскольку исходные числа были положительными, то $\sqrt{5} + 2 > \sqrt{17}$.
Ответ: $\sqrt{5} + 2 > \sqrt{17}$.

в) Сравним числа $\log_3 7$ и $\log_7 3$.
Воспользуемся формулой замены основания логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Тогда $\log_7 3 = \frac{1}{\log_3 7}$.
Нам нужно сравнить $\log_3 7$ и $\frac{1}{\log_3 7}$.
Оценим значение $\log_3 7$.
Поскольку $3^1 = 3$ и $3^2 = 9$, а $3 < 7 < 9$, то, логарифмируя по основанию 3, получаем $\log_3 3 < \log_3 7 < \log_3 9$, что означает $1 < \log_3 7 < 2$.
Пусть $x = \log_3 7$. Мы установили, что $x > 1$.
Если число $x > 1$, то его обратное значение $\frac{1}{x}$ будет меньше 1, то есть $0 < \frac{1}{x} < 1$.
Следовательно, $x > \frac{1}{x}$.
Значит, $\log_3 7 > \frac{1}{\log_3 7}$, что равносильно $\log_3 7 > \log_7 3$.
Ответ: $\log_3 7 > \log_7 3$.

г) Сравним числа $(\sqrt{7} + 3)$ и $\sqrt{31}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(\sqrt{7} + 3)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 = 7 + 6\sqrt{7} + 9 = 16 + 6\sqrt{7}$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{31})^2 = 31$.
Теперь сравним $16 + 6\sqrt{7}$ и $31$.
Вычтем 16 из обоих выражений: $6\sqrt{7}$ и $31 - 16 = 15$.
Оба выражения положительны, возведем их в квадрат: $(6\sqrt{7})^2$ и $15^2$.
$(6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252$.
$15^2 = 225$.
Так как $252 > 225$, то $(6\sqrt{7})^2 > 15^2$, и, следовательно, $6\sqrt{7} > 15$.
Возвращаясь к исходным сравнениям, получаем: $16 + 6\sqrt{7} > 31 \implies (\sqrt{7} + 3)^2 > (\sqrt{31})^2$.
Поскольку исходные числа были положительными, то $\sqrt{7} + 3 > \sqrt{31}$.
Ответ: $\sqrt{7} + 3 > \sqrt{31}$.