Номер 22, страница 279 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 22, страница 279.

Условие.

22. За 1987 г. выпуск предприятием продукции возрос на 4%, а за следующий год — на 8%. Найдите средний ежегодный прирост продукции за двухлетний период.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть первоначальный объем выпуска продукции составляет $A$ условных единиц.

В 1987 году выпуск продукции возрос на 4%. Это означает, что объем продукции составил $100\% + 4\% = 104\%$ от первоначального. Новый объем можно найти, умножив первоначальный на коэффициент роста 1.04.
Объем продукции в конце 1987 года: $A_1 = A \cdot (1 + \frac{4}{100}) = 1.04A$.

В следующем, 1988 году, выпуск продукции возрос на 8% по сравнению с уровнем 1987 года. Коэффициент роста для этого года составляет $1 + \frac{8}{100} = 1.08$. Увеличение рассчитывается от новой базы $A_1$.
Объем продукции в конце 1988 года: $A_2 = A_1 \cdot 1.08 = (1.04A) \cdot 1.08 = 1.1232A$.

Таким образом, общий коэффициент роста за два года составил $1.04 \cdot 1.08 = 1.1232$.

Теперь найдем средний ежегодный прирост. Пусть искомый средний ежегодный прирост равен $p \%$. Тогда средний ежегодный коэффициент роста $k$ будет равен $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Если бы продукция росла каждый год на $p\%$, то за два года ее объем составил бы $A_2 = A \cdot k \cdot k = A \cdot k^2$.

Чтобы найти средний ежегодный прирост, нужно приравнять итоговые объемы продукции, вычисленные двумя способами:
$A \cdot k^2 = 1.1232A$

Разделив обе части уравнения на $A$ (так как $A \neq 0$), получим:
$k^2 = 1.1232$

Отсюда находим средний ежегодный коэффициент роста $k$:
$k = \sqrt{1.1232}$

Теперь, зная $k$, найдем средний ежегодный прирост $p$ в процентах из формулы $p = (k - 1) \cdot 100$:
$p = (\sqrt{1.1232} - 1) \cdot 100$

Вычислим приближенное значение.
$k = \sqrt{1.1232} \approx 1.0598113$
$p \approx (1.0598113 - 1) \cdot 100 \approx 5.98113\%$

Округлив результат до сотых, получим $5.98\%$.

Ответ: $(\sqrt{1.1232} - 1) \cdot 100\% \approx 5.98\%$.