Номер 19, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 19, страница 278.

Условие.

19. а) $15^{\log_3 10}$ и $10^{\log_3 15}$;

б) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ и $(\sqrt{30} - \sqrt{3})$;

в) $\sin 2,1$ и $\sin 7,98$;

г) $(\sqrt{8} + \sqrt{5})$ и $(\sqrt{3} + \sqrt{10})$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Сравним числа $15^{\log_3 10}$ и $10^{\log_3 15}$.

Обозначим $A = 15^{\log_3 10}$ и $B = 10^{\log_3 15}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их логарифмы по основанию 3. Функция $y = \log_3 x$ является строго возрастающей, поэтому если логарифмы чисел равны, то и сами числа равны.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$.

$\log_3 A = \log_3(15^{\log_3 10}) = (\log_3 10) \cdot (\log_3 15)$.

$\log_3 B = \log_3(10^{\log_3 15}) = (\log_3 15) \cdot (\log_3 10)$.

Поскольку $\log_3 A = \log_3 B$, можно сделать вывод, что и исходные числа равны: $A = B$.

Ответ: $15^{\log_3 10} = 10^{\log_3 15}$.

б)

Сравним числа $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ и $(\sqrt{30} - \sqrt{3})$.

Сравнение $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ и $(\sqrt{30} - \sqrt{3})$ эквивалентно сравнению $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{3})$ и $(\sqrt{30} - \sqrt{3} + \sqrt{3})$, если прибавить к обеим частям $\sqrt{3}$.

Таким образом, задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$ и $\sqrt{30}$.

Оба этих числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Функция $y = x^2$ для $x > 0$ является возрастающей.

$(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 2 + 4\sqrt{6} + 4 \cdot 3 = 14 + 4\sqrt{6}$.

$(\sqrt{30})^2 = 30$.

Теперь сравним $14 + 4\sqrt{6}$ и $30$. Это эквивалентно сравнению $4\sqrt{6}$ и $30 - 14 = 16$, или $\sqrt{6}$ и $4$.

Возведем обе части последнего сравнения в квадрат (так как они положительны): $(\sqrt{6})^2 = 6$ и $4^2 = 16$.

Так как $6 < 16$, то $\sqrt{6} < 4$.

Возвращаясь к исходным преобразованиям, получаем:

$\sqrt{6} < 4 \implies 4\sqrt{6} < 16 \implies 14 + 4\sqrt{6} < 14+16=30$.

Значит, $(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})^2 < (\sqrt{30})^2$.

Поскольку основания степеней были положительны, то $\sqrt{2} + 2\sqrt{3} < \sqrt{30}$, и, следовательно, $\sqrt{2} + \sqrt{3} < \sqrt{30} - \sqrt{3}$.

Ответ: $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) < (\sqrt{30} - \sqrt{3})$.

в)

Сравним числа $\sin 2,1$ и $\sin 7,98$. Аргументы синуса даны в радианах.

Функция синуса является периодической с периодом $2\pi$. Приведем второй аргумент к основному промежутку: $\sin(7,98) = \sin(7,98 - 2\pi)$.

Теперь нам нужно сравнить $\sin 2,1$ и $\sin(7,98 - 2\pi)$. Оценим значения аргументов, используя приближение $\pi \approx 3,1416$.

Первый аргумент: $x_1 = 2,1$.

Второй аргумент: $x_2 = 7,98 - 2\pi \approx 7,98 - 2 \cdot 3,1416 = 7,98 - 6,2832 = 1,6968$.

Определим, в каких четвертях находятся углы $x_1$ и $x_2$. Используем значения $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$.

Так как $\pi/2 < 1,6968 < \pi$ и $\pi/2 < 2,1 < \pi$, оба угла находятся во второй четверти координатной окружности.

На интервале $(\pi/2, \pi)$ функция $y = \sin x$ является строго убывающей. Это значит, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы: $x_1 = 2,1$ и $x_2 = 7,98 - 2\pi$. $x_2 < x_1$, так как $7,98 - 2\pi < 2,1 \iff 5,88 < 2\pi \iff 2,94 < \pi$. Последнее неравенство верно.

Поскольку оба угла лежат в интервале, где синус убывает, из $x_2 < x_1$ следует, что $\sin(x_2) > \sin(x_1)$.

Следовательно, $\sin(7,98 - 2\pi) > \sin(2,1)$, что означает $\sin(7,98) > \sin(2,1)$.

Ответ: $\sin 2,1 < \sin 7,98$.

г)

Сравним числа $(\sqrt{8} + \sqrt{5})$ и $(\sqrt{3} + \sqrt{10})$.

Обозначим $A = \sqrt{8} + \sqrt{5}$ и $B = \sqrt{3} + \sqrt{10}$. Оба числа положительны, поэтому для их сравнения мы можем сравнить их квадраты. Функция $y = x^2$ для $x > 0$ является возрастающей.

Возведем оба выражения в квадрат:

$A^2 = (\sqrt{8} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2\sqrt{8 \cdot 5} + (\sqrt{5})^2 = 8 + 2\sqrt{40} + 5 = 13 + 2\sqrt{40}$.

$B^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3 \cdot 10} + (\sqrt{10})^2 = 3 + 2\sqrt{30} + 10 = 13 + 2\sqrt{30}$.

Теперь сравним $A^2$ и $B^2$, то есть $13 + 2\sqrt{40}$ и $13 + 2\sqrt{30}$. Вычитая из обеих частей по 13, получаем сравнение $2\sqrt{40}$ и $2\sqrt{30}$, что эквивалентно сравнению $\sqrt{40}$ и $\sqrt{30}$.

Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, и $40 > 30$, то $\sqrt{40} > \sqrt{30}$.

Следовательно, $13 + 2\sqrt{40} > 13 + 2\sqrt{30}$, то есть $A^2 > B^2$.

Поскольку $A$ и $B$ положительны, из $A^2 > B^2$ следует, что $A > B$.

Ответ: $(\sqrt{8} + \sqrt{5}) > (\sqrt{3} + \sqrt{10})$.