Страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

9. a) $\frac{0,5^2 - 0,5}{0,4^2 + 0,1^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot 0,1}$

б) $\frac{1,2^2 - 1,8^2}{1,2 \cdot 0,2 - 1,2 \cdot 0,8}$

в) $\frac{0,6^2 + 0,1^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot 0,1}{1,5 - 1,5^2}$

г) $(1 \frac{3}{5})^2 - (4 \frac{5}{8} - 2,4) : \frac{5}{8}$

а) Решим выражение $\frac{0,5^2 - 0,5}{0,4^2 + 0,1^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot 0,1}$.

1. Упростим числитель, вынеся общий множитель $0,5$ за скобки:
$0,5^2 - 0,5 = 0,5 \cdot (0,5 - 1) = 0,5 \cdot (-0,5) = -0,25$.

2. Упростим знаменатель. Заметим, что выражение $0,4^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot 0,1 + 0,1^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=0,4$ и $b=0,1$:
$0,4^2 + 2 \cdot 0,4 \cdot 0,1 + 0,1^2 = (0,4 + 0,1)^2 = 0,5^2 = 0,25$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-0,25}{0,25} = -1$.

Ответ: -1

б) Решим выражение $\frac{1,2^2 - 1,8^2}{1,2 \cdot 0,2 - 1,2 \cdot 0,8}$.

1. Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=1,2$ и $b=1,8$:
$1,2^2 - 1,8^2 = (1,2 - 1,8)(1,2 + 1,8) = (-0,6) \cdot 3 = -1,8$.

2. Упростим знаменатель, вынеся общий множитель $1,2$ за скобки:
$1,2 \cdot 0,2 - 1,2 \cdot 0,8 = 1,2 \cdot (0,2 - 0,8) = 1,2 \cdot (-0,6) = -0,72$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-1,8}{-0,72} = \frac{1,8}{0,72} = \frac{180}{72}$. Сократим дробь: $\frac{180 \div 36}{72 \div 36} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: 2,5

в) Решим выражение $\frac{0,6^2 + 0,1^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot 0,1}{1,5 - 1,5^2}$.

1. Упростим числитель. Заметим, что выражение $0,6^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot 0,1 + 0,1^2$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=0,6$ и $b=0,1$:
$0,6^2 - 2 \cdot 0,6 \cdot 0,1 + 0,1^2 = (0,6 - 0,1)^2 = 0,5^2 = 0,25$.

2. Упростим знаменатель, вынеся общий множитель $1,5$ за скобки:
$1,5 - 1,5^2 = 1,5 \cdot (1 - 1,5) = 1,5 \cdot (-0,5) = -0,75$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{0,25}{-0,75} = -\frac{25}{75} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

г) Решим выражение $(1\frac{3}{5})^2 - (4\frac{5}{8} - 2,4) : \frac{5}{8}$.

Решим по действиям. Сначала переведем все числа в обыкновенные дроби:
$1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$;
$4\frac{5}{8} = \frac{37}{8}$;
$2,4 = 2\frac{4}{10} = 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{8}{5})^2 - (\frac{37}{8} - \frac{12}{5}) : \frac{5}{8}$.

1. Выполним действие в скобках:
$\frac{37}{8} - \frac{12}{5} = \frac{37 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{12 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{185}{40} - \frac{96}{40} = \frac{89}{40}$.

2. Выполним деление:
$\frac{89}{40} : \frac{5}{8} = \frac{89}{40} \cdot \frac{8}{5} = \frac{89 \cdot 8}{40 \cdot 5} = \frac{89}{\cancel{40}_5 \cdot 5} \cdot \cancel{8}^1 = \frac{89}{25}$.

3. Возведем в квадрат:
$(\frac{8}{5})^2 = \frac{64}{25}$.

4. Выполним вычитание:
$\frac{64}{25} - \frac{89}{25} = \frac{64-89}{25} = \frac{-25}{25} = -1$.

Ответ: -1

10. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:

а) $3,82 \pm 0,1$;

б) $1,980 \cdot 10^4 \pm 0,001 \cdot 10^4$;

в) $7,891 \pm 0,1$;

г) $2,8 \cdot 10^{-4} \pm 0,3 \cdot 10^{-4}$.

Для определения верных цифр в записи приближенного значения числа используется правило: цифра называется верной (в узком смысле), если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра. То есть, для цифры в разряде с весом $10^k$ должно выполняться условие $\Delta a \le \frac{1}{2} \cdot 10^k$, где $\Delta a$ — абсолютная погрешность. Все цифры, стоящие левее верной цифры, также являются верными.

а) 3,82 ± 0,1

Приближенное значение $a = 3,82$, абсолютная погрешность $\Delta a = 0,1$.

1. Проверим цифру 3. Она стоит в разряде единиц (вес разряда $10^0 = 1$). Половина единицы этого разряда равна $\frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$. Сравниваем погрешность: $\Delta a = 0,1 \le 0,5$. Условие выполняется, значит, цифра 3 верная.

2. Проверим цифру 8. Она стоит в разряде десятых (вес разряда $10^{-1} = 0,1$). Половина единицы этого разряда равна $\frac{1}{2} \cdot 0,1 = 0,05$. Сравниваем погрешность: $\Delta a = 0,1 \not\le 0,05$. Условие не выполняется, значит, цифра 8 не является верной.

Поскольку цифра 8 неверная, все последующие цифры (в данном случае, 2) также считаются неверными.

Таким образом, верной является только цифра 3.

Ответ: 3.

б) 1,980 ⋅ 10⁴ ± 0,001 ⋅ 10⁴

Запишем число в виде $a \pm \Delta a$, где $a = 1,980 \cdot 10^4 = 19800$ и $\Delta a = 0,001 \cdot 10^4 = 10$.

1. Проверим цифру 1. Она находится в разряде десятков тысяч (вес $10^4$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 10^4 = 5000$. Погрешность $\Delta a = 10 \le 5000$. Цифра 1 верная.

2. Проверим цифру 9. Она находится в разряде тысяч (вес $10^3$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 10^3 = 500$. Погрешность $\Delta a = 10 \le 500$. Цифра 9 верная.

3. Проверим цифру 8. Она находится в разряде сотен (вес $10^2$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 10^2 = 50$. Погрешность $\Delta a = 10 \le 50$. Цифра 8 верная.

4. Проверим цифру 0 (в разряде десятков). Она находится в разряде десятков (вес $10^1$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 10^1 = 5$. Погрешность $\Delta a = 10 \not\le 5$. Цифра 0 неверная.

Все последующие цифры также неверные.

Таким образом, верными являются цифры 1, 9, 8.

Ответ: 1, 9, 8.

в) 7,891 ± 0,1

Приближенное значение $a = 7,891$, абсолютная погрешность $\Delta a = 0,1$.

1. Проверим цифру 7. Она стоит в разряде единиц (вес $10^0 = 1$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$. Погрешность $\Delta a = 0,1 \le 0,5$. Цифра 7 верная.

2. Проверим цифру 8. Она стоит в разряде десятых (вес $10^{-1} = 0,1$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 0,1 = 0,05$. Погрешность $\Delta a = 0,1 \not\le 0,05$. Цифра 8 неверная.

Все последующие цифры (9 и 1) также неверные.

Таким образом, верной является только цифра 7.

Ответ: 7.

г) 2,8 ⋅ 10⁻⁴ ± 0,3 ⋅ 10⁻⁴

Запишем число в виде $a \pm \Delta a$, где $a = 2,8 \cdot 10^{-4} = 0,00028$ и $\Delta a = 0,3 \cdot 10^{-4} = 0,00003$.

1. Проверим цифру 2. Она стоит в разряде десятитысячных (вес $10^{-4}$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 10^{-4} = 0,5 \cdot 10^{-4} = 0,00005$. Погрешность $\Delta a = 0,00003 \le 0,00005$. Цифра 2 верная.

2. Проверим цифру 8. Она стоит в разряде стотысячных (вес $10^{-5}$). Половина единицы разряда: $\frac{1}{2} \cdot 10^{-5} = 0,5 \cdot 10^{-5} = 0,000005$. Погрешность $\Delta a = 0,00003 \not\le 0,000005$. Цифра 8 неверная.

Таким образом, верной является только цифра 2.

Ответ: 2.

11. Пользуясь формулой $(1+x)^n \approx 1 + nx$, вычислите приближенно:

а) $1,002^5$;

б) $0,997^4$;

в) $2,004^3$;

г) $3,01^5$.

Чтобы вычислить $1.002^5$ с помощью формулы $(1+x)^n \approx 1 + nx$, представим основание $1.002$ в виде $1 + 0.002$.

В данном случае $x = 0.002$, а степень $n = 5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$1.002^5 = (1 + 0.002)^5 \approx 1 + 5 \cdot 0.002 = 1 + 0.01 = 1.01$.

Ответ: $1.01$.

Для вычисления $0.997^4$ представим основание $0.997$ в виде $1 - 0.003$ или $1 + (-0.003)$.

Здесь $x = -0.003$, а степень $n = 4$.

Применяем формулу приближенного вычисления:

$0.997^4 = (1 - 0.003)^4 \approx 1 + 4 \cdot (-0.003) = 1 - 0.012 = 0.988$.

Ответ: $0.988$.

Выражение $2.004^3$ напрямую не соответствует виду $(1+x)^n$, так как основание не близко к единице. Преобразуем его, вынеся за скобки $2$:

$2.004^3 = (2 \cdot 1.002)^3 = 2^3 \cdot 1.002^3 = 8 \cdot 1.002^3$.

Теперь применим формулу приближенного вычисления к множителю $1.002^3$. Здесь $x = 0.002$ и $n = 3$.

$1.002^3 = (1 + 0.002)^3 \approx 1 + 3 \cdot 0.002 = 1 + 0.006 = 1.006$.

Подставим полученное значение обратно:

$2.004^3 \approx 8 \cdot 1.006 = 8.048$.

Ответ: $8.048$.

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение $3.01^5$. Основание $3.01$ не близко к единице, поэтому вынесем за скобки $3$:

$3.01^5 = (3 \cdot (1 + \frac{0.01}{3}))^5 = (3 \cdot (1 + \frac{1}{300}))^5 = 3^5 \cdot (1 + \frac{1}{300})^5$.

Сначала вычислим $3^5 = 243$.

Затем применим формулу $(1+x)^n \approx 1 + nx$ к выражению $(1 + \frac{1}{300})^5$. В этом случае $x = \frac{1}{300}$ и $n = 5$.

$(1 + \frac{1}{300})^5 \approx 1 + 5 \cdot \frac{1}{300} = 1 + \frac{5}{300} = 1 + \frac{1}{60}$.

Теперь объединим результаты:

$3.01^5 \approx 243 \cdot (1 + \frac{1}{60}) = 243 + \frac{243}{60}$.

Упростим дробь: $\frac{243}{60} = \frac{81}{20} = 4.05$.

Таким образом, окончательный результат:

$3.01^5 \approx 243 + 4.05 = 247.05$.

Ответ: $247.05$.

12. Известно, что $a \approx 11,5$, $b \approx 3,8$. Найдите приближенное значение выражения:

а) $a+b$;

б) $3a-b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$.

а) Чтобы найти приближенное значение суммы $a + b$, необходимо сложить данные приближенные значения $a$ и $b$.

Подставляем значения $a \approx 11,5$ и $b \approx 3,8$ в выражение:

$a + b \approx 11,5 + 3,8$

Выполняем сложение:

$11,5 + 3,8 = 15,3$

Таким образом, приближенное значение выражения равно $15,3$.

Ответ: $15,3$.

б) Чтобы найти приближенное значение выражения $3a - b$, сначала найдем приближенное значение произведения $3a$, а затем вычтем из результата приближенное значение $b$.

1. Умножим приближенное значение $a$ на 3:

$3a \approx 3 \times 11,5 = 34,5$

2. Вычтем из полученного результата приближенное значение $b$:

$3a - b \approx 34,5 - 3,8 = 30,7$

Таким образом, приближенное значение выражения равно $30,7$.

Ответ: $30,7$.

в) Чтобы найти приближенное значение произведения $ab$, необходимо перемножить данные приближенные значения $a$ и $b$.

Подставляем значения $a \approx 11,5$ и $b \approx 3,8$ в выражение:

$ab \approx 11,5 \times 3,8$

Выполняем умножение:

$11,5 \times 3,8 = 43,7$

Таким образом, приближенное значение выражения равно $43,7$.

Ответ: $43,7$.

г) Чтобы найти приближенное значение частного $\frac{a}{b}$, необходимо разделить приближенное значение $a$ на приближенное значение $b$.

Подставляем значения $a \approx 11,5$ и $b \approx 3,8$ в выражение:

$\frac{a}{b} \approx \frac{11,5}{3,8}$

Для удобства вычислений, избавимся от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножив оба на 10:

$\frac{11,5}{3,8} = \frac{115}{38}$

Выполним деление:

$115 \div 38 \approx 3,0263...$

Округлим полученный результат до сотых, так как это обеспечивает достаточную точность для большинства учебных задач:

$3,0263... \approx 3,03$

Таким образом, приближенное значение выражения равно примерно $3,03$.

Ответ: $\approx 3,03$.

13. Запишите в виде обыкновенной дроби:

а) $2,(3);$

б) $0,(66);$

в) $1,0(8);$

г) $1,(33).$

а) 2,(3)

Чтобы преобразовать периодическую дробь 2,(3) в обыкновенную, обозначим это число через $x$.
$x = 2,(3) = 2.333...$
Так как в периоде одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 23.333...$
Теперь вычтем из второго равенства первое. Это позволит избавиться от бесконечной дробной части.
$10x - x = 23.333... - 2.333...$
$9x = 21$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{21}{9}$
Сокращаем полученную дробь на 3:
$x = \frac{7}{3}$
Можно также записать в виде смешанной дроби $2\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

б) 0,(66)

Обозначим число 0,(66) через $x$. Запись 0,(66) означает $0.6666...$, что эквивалентно $0,(6)$.
$x = 0,(66) = 0.6666...$
В периоде указаны две цифры, поэтому умножим обе части равенства на 100:
$100x = 66.6666...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 66.6666... - 0.6666...$
$99x = 66$
Находим $x$:
$x = \frac{66}{99}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 33:
$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) 1,0(8)

Обозначим число 1,0(8) через $x$. Это смешанная периодическая дробь.
$x = 1,0(8) = 1.0888...$
Сначала умножим на 10, чтобы после запятой осталась только периодическая часть:
$10x = 10.888...$
Теперь умножим это новое равенство еще на 10 (или исходное на 100), чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо, за первую цифру периода:
$100x = 108.888...$
Вычтем из второго полученного равенства первое:
$100x - 10x = 108.888... - 10.888...$
$90x = 98$
Находим $x$:
$x = \frac{98}{90}$
Сокращаем дробь на 2:
$x = \frac{49}{45}$
Можно также записать в виде смешанной дроби $1\frac{4}{45}$.

Ответ: $\frac{49}{45}$

г) 1,(33)

Обозначим число 1,(33) через $x$. Запись 1,(33) означает $1.3333...$, что эквивалентно $1,(3)$.
$x = 1,(33) = 1.3333...$
В периоде указаны две цифры, поэтому умножим обе части равенства на 100:
$100x = 133.3333...$
Вычтем из второго равенства первое:
$100x - x = 133.3333... - 1.3333...$
$99x = 132$
Находим $x$:
$x = \frac{132}{99}$
Сокращаем дробь на их наибольший общий делитель, равный 33:
$x = \frac{4}{3}$
Можно также записать в виде смешанной дроби $1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

14. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел:

а) $\sqrt{5}$;

б) $2\sqrt{7}$;

в) $\sqrt{5}+1$;

г) $\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Для доказательства иррациональности чисел будем использовать метод от противного. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$).

а) $\sqrt{5}$

Предположим, что число $\sqrt{5}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ и дробь $\frac{p}{q}$ несократима.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$5 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2}$

Отсюда следует, что $p^2 = 5q^2$.

Из этого равенства видно, что $p^2$ делится на 5. Если квадрат числа делится на простое число 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $p$ делится на 5. Мы можем записать $p$ в виде $p = 5k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим $p = 5k$ в равенство $p^2 = 5q^2$:

$(5k)^2 = 5q^2$

$25k^2 = 5q^2$

Разделим обе части на 5:

$5k^2 = q^2$

Из последнего равенства следует, что $q^2$ делится на 5, а значит, и само число $q$ делится на 5.

Мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 5. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ сократима, что противоречит нашему первоначальному предположению о несократимости дроби. Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt{5}$ является рациональным числом, неверно.

Ответ: Число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

б) $2\sqrt{7}$

Предположим от противного, что число $2\sqrt{7}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.

$2\sqrt{7} = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{7}$:

$\sqrt{7} = \frac{p}{2q}$

В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $p$ — целое число, а знаменатель $2q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{p}{2q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{7}$ — рациональное число.

Однако, число 7 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{7}$ — иррациональное число (это доказывается аналогично пункту а)). Получаем противоречие: иррациональное число $\sqrt{7}$ равно рациональному числу $\frac{p}{2q}$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $2\sqrt{7}$ является иррациональным.

в) $\sqrt{5} + 1$

Предположим от противного, что число $\sqrt{5} + 1$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.

$\sqrt{5} + 1 = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{5}$:

$\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1 = \frac{p-q}{q}$

В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $p-q$ — целое число, а знаменатель $q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{p-q}{q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{5}$ — рациональное число.

Это противоречит доказанному в пункте а) факту, что $\sqrt{5}$ является иррациональным числом. Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения.

Ответ: Число $\sqrt{5} + 1$ является иррациональным.

г) $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Предположим от противного, что число $\frac{\sqrt{7}}{3}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.

$\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{7}$:

$\sqrt{7} = \frac{3p}{q}$

В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $3p$ — целое число, а знаменатель $q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{3p}{q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{7}$ — рациональное число.

Это противоречит тому, что $\sqrt{7}$ является иррациональным числом (как было упомянуто в пункте б)). Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $\frac{\sqrt{7}}{3}$ является иррациональным.

15. Верно ли, что сумма (произведение) чисел $a$ и $b$ является рациональным (иррациональным) числом, если:

а) $a$ и $b$ — рациональные числа;

б) $a$ и $b$ — иррациональные числа;

в) $a$ — рациональное, а $b$ — иррациональное число?

а) а и b – рациональные числа;

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное (или ненулевое целое) число. Множество рациональных чисел является замкнутым относительно операций сложения и умножения.

Сумма: Пусть $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$ — два рациональных числа. Их сумма равна $a + b = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 + p_2q_1}{q_1q_2}$. Так как $p_1, q_1, p_2, q_2$ — целые числа, то числитель $p_1q_2 + p_2q_1$ и знаменатель $q_1q_2$ также являются целыми числами, причем знаменатель не равен нулю. Следовательно, сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Произведение: Произведение этих же чисел равно $a \cdot b = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2}$. Числитель $p_1p_2$ и знаменатель $q_1q_2$ — целые числа, знаменатель не равен нулю. Следовательно, произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Ответ: Сумма и произведение двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами.

б) а и b – иррациональные числа;

Сумма: Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

• Пример рациональной суммы: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Оба числа иррациональные, но их сумма $a+b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ является рациональным числом.
• Пример иррациональной суммы: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Оба числа иррациональные, и их сумма $a+b = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ также является иррациональным числом.

Следовательно, неверно утверждать, что сумма двух иррациональных чисел всегда рациональна или всегда иррациональна.

Произведение: Произведение двух иррациональных чисел также может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

• Пример рационального произведения: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$. Оба числа иррациональные, но их произведение $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ является рациональным числом.
• Пример иррационального произведения: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Оба числа иррациональные, и их произведение $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ также является иррациональным числом.

Следовательно, неверно утверждать, что произведение двух иррациональных чисел всегда рационально или всегда иррационально.

Ответ: Сумма и произведение двух иррациональных чисел могут быть как рациональными, так и иррациональными числами. Утверждение, что результат всегда рационален или всегда иррационален, является неверным.

в) а – рациональное, а b – иррациональное число?

Сумма: Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Докажем от противного. Пусть $a$ — рациональное, $b$ — иррациональное, а их сумма $a+b = c$ — рациональное число. Тогда можно выразить $b = c - a$. Так как $c$ и $a$ — рациональные числа, их разность $c-a$ также является рациональным числом. Получается, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и сумма $a+b$ всегда иррациональна.

Произведение: Произведение рационального и иррационального чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.

• Если рациональное число $a = 0$, то произведение $a \cdot b = 0 \cdot b = 0$. Число 0 является рациональным.
• Если рациональное число $a \neq 0$, то произведение $a \cdot b$ всегда будет иррациональным. Докажем от противного. Пусть $a \neq 0$ — рациональное, $b$ — иррациональное, а их произведение $a \cdot b = c$ — рациональное число. Тогда можно выразить $b = \frac{c}{a}$. Так как $c$ и $a \neq 0$ — рациональные числа, их частное $\frac{c}{a}$ также является рациональным числом. Получается, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, если $a \neq 0$, произведение $a \cdot b$ всегда иррационально.

Поскольку результат зависит от значения рационального числа, нельзя утверждать, что произведение всегда рационально или всегда иррационально.

Ответ: Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Произведение рационального и иррационального чисел является иррациональным, если рациональное число не равно нулю, и рациональным (равным 0), если рациональное число равно нулю.

16. Найдите с точностью до 0,01:

a) $\sqrt{2} + \frac{5}{9}$

б) $\sqrt{5} - \frac{2}{7}$

в) $\sqrt{3} + \frac{5}{6}$

г) $\sqrt{6} - \frac{1}{11}$

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{2} + \frac{5}{9}$ с точностью до 0,01, найдем приближенные значения слагаемых. Для этого будем вычислять с точностью до тысячных (три знака после запятой).
Приближенное значение корня: $\sqrt{2} \approx 1,414$.
Представим дробь в виде десятичной: $\frac{5}{9} = 5 \div 9 = 0,555... \approx 0,556$.
Теперь сложим полученные значения:
$\sqrt{2} + \frac{5}{9} \approx 1,414 + 0,556 = 1,970$.
Округлим результат до сотых (до двух знаков после запятой). Так как третья цифра после запятой 0, то предыдущую цифру не меняем.
$1,970 \approx 1,97$.
Ответ: 1,97

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{5} - \frac{2}{7}$ с точностью до 0,01, найдем приближенные значения уменьшаемого и вычитаемого с точностью до тысячных.
Приближенное значение корня: $\sqrt{5} \approx 2,236$.
Представим дробь в виде десятичной: $\frac{2}{7} = 2 \div 7 = 0,2857... \approx 0,286$.
Теперь вычтем полученные значения:
$\sqrt{5} - \frac{2}{7} \approx 2,236 - 0,286 = 1,950$.
Округлим результат до сотых. Так как третья цифра после запятой 0, то предыдущую цифру не меняем.
$1,950 \approx 1,95$.
Ответ: 1,95

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{3} + \frac{5}{6}$ с точностью до 0,01, найдем приближенные значения слагаемых с точностью до тысячных.
Приближенное значение корня: $\sqrt{3} \approx 1,732$.
Представим дробь в виде десятичной: $\frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0,8333... \approx 0,833$.
Теперь сложим полученные значения:
$\sqrt{3} + \frac{5}{6} \approx 1,732 + 0,833 = 2,565$.
Округлим результат до сотых. Так как третья цифра после запятой равна 5, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.
$2,565 \approx 2,57$.
Ответ: 2,57

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{6} - \frac{1}{11}$ с точностью до 0,01, найдем приближенные значения уменьшаемого и вычитаемого с точностью до тысячных.
Приближенное значение корня: $\sqrt{6} \approx 2,449$.
Представим дробь в виде десятичной: $\frac{1}{11} = 1 \div 11 = 0,0909... \approx 0,091$.
Теперь вычтем полученные значения:
$\sqrt{6} - \frac{1}{11} \approx 2,449 - 0,091 = 2,358$.
Округлим результат до сотых. Так как третья цифра после запятой равна 8 (больше 5), то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.
$2,358 \approx 2,36$.
Ответ: 2,36

17. Расположите числа в порядке возрастания. Укажите, какие из них являются рациональными, а какие — иррациональными числами:

а) $ \sqrt{3} $; -2; -1,7; $ \frac{\pi}{3} $;

б) $ \log_2 3 $; -1; $ \frac{5}{6} $; $ -\sqrt{5} $;

в) 0,(2); $ \frac{7}{6} $; $ -\frac{\sqrt{5}}{2} $;

г) $ e $; -1,(6); $ \sqrt{10} $; $ \lg 100 $.

а)

Проанализируем каждое число из набора: $\sqrt{3}; -2; -1,7; \frac{\pi}{3}$.

• $\sqrt{3}$ — это иррациональное число, так как корень извлекается из числа, не являющегося полным квадратом. Его приблизительное значение: $\sqrt{3} \approx 1,732$.
• $-2$ — это рациональное число (целое).
• $-1,7$ — это рациональное число, так как его можно представить в виде обыкновенной дроби: $-1,7 = -\frac{17}{10}$.
• $\frac{\pi}{3}$ — это иррациональное число, так как в его записи участвует иррациональное число $\pi$. Его приблизительное значение: $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$.

Теперь сравним значения чисел и расположим их в порядке возрастания:

$-2 < -1,7 < 1,047... < 1,732...$

Следовательно, итоговый ряд: $-2; -1,7; \frac{\pi}{3}; \sqrt{3}$.

Рациональные числа: $-2; -1,7$.

Иррациональные числа: $\sqrt{3}; \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-2; -1,7; \frac{\pi}{3}; \sqrt{3}$. Рациональные: $-2; -1,7$. Иррациональные: $\sqrt{3}; \frac{\pi}{3}$.

б)

Проанализируем каждое число из набора: $\log_2 3; -1; \frac{5}{6}; -\sqrt{5}$.

• $\log_2 3$ — это иррациональное число, так как не существует такого рационального числа $x$, что $2^x = 3$. Его приблизительное значение: $1 < \log_2 3 < 2$, так как $2^1 < 3 < 2^2$. $\log_2 3 \approx 1,585$.
• $-1$ — это рациональное число (целое).
• $\frac{5}{6}$ — это рациональное число. В виде десятичной дроби: $\frac{5}{6} \approx 0,833$.
• $-\sqrt{5}$ — это иррациональное число. Его приблизительное значение: $-\sqrt{5} \approx -2,236$.

Сравним значения и расположим в порядке возрастания:

$-2,236... < -1 < 0,833... < 1,585...$

Следовательно, итоговый ряд: $-\sqrt{5}; -1; \frac{5}{6}; \log_2 3$.

Рациональные числа: $-1; \frac{5}{6}$.

Иррациональные числа: $\log_2 3; -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}; -1; \frac{5}{6}; \log_2 3$. Рациональные: $-1; \frac{5}{6}$. Иррациональные: $\log_2 3; -\sqrt{5}$.

в)

Проанализируем каждое число из набора: $0,(2); \frac{7}{6}; -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $0,(2)$ — это рациональное число (периодическая десятичная дробь). Его можно представить в виде обыкновенной дроби: $0,(2) = \frac{2}{9} \approx 0,222$.
• $\frac{7}{6}$ — это рациональное число. Его можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} \approx 1,167$.
• $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ — это иррациональное число. Его приблизительное значение: $-\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -\frac{2,236}{2} = -1,118$.

Сравним значения и расположим в порядке возрастания:

$-1,118... < 0,222... < 1,167...$

Следовательно, итоговый ряд: $-\frac{\sqrt{5}}{2}; 0,(2); \frac{7}{6}$.

Рациональные числа: $0,(2); \frac{7}{6}$.

Иррациональные числа: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}; 0,(2); \frac{7}{6}$. Рациональные: $0,(2); \frac{7}{6}$. Иррациональные: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

г)

Проанализируем каждое число из набора: $e; -1,(6); \sqrt{10}; \lg 100$.

• $e$ — это иррациональное (трансцендентное) число, основание натурального логарифма. Его приблизительное значение: $e \approx 2,718$.
• $-1,(6)$ — это рациональное число (периодическая дробь). Представим в виде обыкновенной дроби: $-1,(6) = -(1 + \frac{6}{9}) = -(1 + \frac{2}{3}) = -\frac{5}{3} \approx -1,667$.
• $\sqrt{10}$ — это иррациональное число. Его приблизительное значение: $\sqrt{10} \approx 3,162$.
• $\lg 100$ — это рациональное число. $\lg 100 = \log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$.

Сравним значения и расположим в порядке возрастания:

$-1,667... < 2 < 2,718... < 3,162...$

Следовательно, итоговый ряд: $-1,(6); \lg 100; e; \sqrt{10}$.

Рациональные числа: $-1,(6); \lg 100$.

Иррациональные числа: $e; \sqrt{10}$.

Ответ: $-1,(6); \lg 100; e; \sqrt{10}$. Рациональные: $-1,(6); \lg 100$. Иррациональные: $e; \sqrt{10}$.

Сравните числа (18–19).

18. а) $ \frac{4}{\lg^2 \frac{1}{2}} $ и $ \frac{7}{\lg^2 \frac{1}{2}} $;

б) $ (\sqrt{5}+2) $ и $ \sqrt{17} $;

в) $ \log_3 7 $ и $ \log_7 3 $;

г) $ (\sqrt{7}+3) $ и $ \sqrt{31} $.

а) Сравним числа $\frac{4}{\lg \frac{1}{2}}$ и $\frac{7}{\lg \frac{1}{2}}$.
Знаменатель дробей $\lg \frac{1}{2}$ является десятичным логарифмом ($\log_{10}$) числа, которое меньше 1. Так как основание логарифма $10 > 1$, а аргумент $0 < \frac{1}{2} < 1$, то значение логарифма отрицательно: $\lg \frac{1}{2} < 0$.
Мы сравниваем две дроби с одинаковым отрицательным знаменателем. Пусть $D = \lg \frac{1}{2}$, где $D < 0$. Нам нужно сравнить $\frac{4}{D}$ и $\frac{7}{D}$.
Сравним числители: $4 < 7$.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $D$ знак неравенства меняется на противоположный.
Следовательно, $\frac{4}{D} > \frac{7}{D}$.
Таким образом, $\frac{4}{\lg \frac{1}{2}} > \frac{7}{\lg \frac{1}{2}}$.
Ответ: $\frac{4}{\lg \frac{1}{2}} > \frac{7}{\lg \frac{1}{2}}$.

б) Сравним числа $(\sqrt{5} + 2)$ и $\sqrt{17}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{17})^2 = 17$.
Теперь сравним $9 + 4\sqrt{5}$ и $17$.
Вычтем 9 из обоих выражений: $4\sqrt{5}$ и $17 - 9 = 8$.
Разделим оба выражения на 4: $\sqrt{5}$ и $2$.
Возведем в квадрат, так как оба числа положительны: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$.
Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$.
Возвращаясь к исходным сравнениям, получаем: $4\sqrt{5} > 8 \implies 9 + 4\sqrt{5} > 17 \implies (\sqrt{5} + 2)^2 > (\sqrt{17})^2$.
Поскольку исходные числа были положительными, то $\sqrt{5} + 2 > \sqrt{17}$.
Ответ: $\sqrt{5} + 2 > \sqrt{17}$.

в) Сравним числа $\log_3 7$ и $\log_7 3$.
Воспользуемся формулой замены основания логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Тогда $\log_7 3 = \frac{1}{\log_3 7}$.
Нам нужно сравнить $\log_3 7$ и $\frac{1}{\log_3 7}$.
Оценим значение $\log_3 7$.
Поскольку $3^1 = 3$ и $3^2 = 9$, а $3 < 7 < 9$, то, логарифмируя по основанию 3, получаем $\log_3 3 < \log_3 7 < \log_3 9$, что означает $1 < \log_3 7 < 2$.
Пусть $x = \log_3 7$. Мы установили, что $x > 1$.
Если число $x > 1$, то его обратное значение $\frac{1}{x}$ будет меньше 1, то есть $0 < \frac{1}{x} < 1$.
Следовательно, $x > \frac{1}{x}$.
Значит, $\log_3 7 > \frac{1}{\log_3 7}$, что равносильно $\log_3 7 > \log_7 3$.
Ответ: $\log_3 7 > \log_7 3$.

г) Сравним числа $(\sqrt{7} + 3)$ и $\sqrt{31}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.
Возведем в квадрат первое число: $(\sqrt{7} + 3)^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 = 7 + 6\sqrt{7} + 9 = 16 + 6\sqrt{7}$.
Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{31})^2 = 31$.
Теперь сравним $16 + 6\sqrt{7}$ и $31$.
Вычтем 16 из обоих выражений: $6\sqrt{7}$ и $31 - 16 = 15$.
Оба выражения положительны, возведем их в квадрат: $(6\sqrt{7})^2$ и $15^2$.
$(6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252$.
$15^2 = 225$.
Так как $252 > 225$, то $(6\sqrt{7})^2 > 15^2$, и, следовательно, $6\sqrt{7} > 15$.
Возвращаясь к исходным сравнениям, получаем: $16 + 6\sqrt{7} > 31 \implies (\sqrt{7} + 3)^2 > (\sqrt{31})^2$.
Поскольку исходные числа были положительными, то $\sqrt{7} + 3 > \sqrt{31}$.
Ответ: $\sqrt{7} + 3 > \sqrt{31}$.

19. а) $15^{\log_3 10}$ и $10^{\log_3 15}$;

б) $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ и $(\sqrt{30} - \sqrt{3})$;

в) $\sin 2,1$ и $\sin 7,98$;

г) $(\sqrt{8} + \sqrt{5})$ и $(\sqrt{3} + \sqrt{10})$.