Страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

13. 1) Какие уравнения называют иррациональными?

2) Решите уравнение:

а) $\sqrt{x - 3} = 2x - 7$;

б) $\sqrt[3]{2x + 3} = 2$;

в) $x - \sqrt{x} = 12$;

г) $x + 3 = \sqrt{33 + x^2}$.

3) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3, \\ x - y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 6, \\ xy = 16; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ x^2 y = 12. \end{cases}$

1) Иррациональными называют уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или возводится в степень с дробным показателем.

2) Решите уравнение:

а) $\sqrt{x-3}=2x-7$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня.
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2x-7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge 3.5 \end{cases} \implies x \ge 3.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x-3})^2 = (2x-7)^2$
$x-3 = 4x^2 - 28x + 49$
$4x^2 - 28x - x + 49 + 3 = 0$
$4x^2 - 29x + 52 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 52 = 841 - 832 = 9$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 3}{8} = \frac{32}{8} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 3}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3.5$).
Корень $x_1=4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 3.5$).
Корень $x_2=3.25$ не удовлетворяет условию ($3.25 < 3.5$), следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $4$.

б) $\sqrt[3]{2x+3}=2$

Для кубического корня область допустимых значений — все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{2x+3})^3 = 2^3$
$2x+3 = 8$
$2x = 5$
$x = 2.5$

Ответ: $2.5$.

в) $x-\sqrt{x}=12$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - t = 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1=4$ удовлетворяет условию.
$t_2=-3$ не удовлетворяет условию.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\sqrt{x} = 4$
$x = 4^2 = 16$

Ответ: $16$.

г) $x+3=\sqrt{33+x^2}$

ОДЗ:
$\begin{cases} 33+x^2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases}$.
Первое неравенство $33+x^2 \ge 0$ выполняется для любого $x$.
Второе неравенство $x+3 \ge 0$ дает $x \ge -3$.
ОДЗ: $x \ge -3$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x+3)^2 = (\sqrt{33+x^2})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 33 + x^2$
$6x = 33 - 9$
$6x = 24$
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge -3$).

Ответ: $4$.

3) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3, \\ x - y = 9; \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$.
Второе уравнение можно разложить как разность квадратов: $x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Подставим в него значение $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ из первого уравнения:
$9 = 3(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$\sqrt{x}+\sqrt{y} = 3$
Теперь имеем систему из двух простых уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$2\sqrt{x} = 6 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.
Подставим $\sqrt{x}=3$ во второе уравнение системы:
$3 + \sqrt{y} = 3 \implies \sqrt{y} = 0 \implies y = 0$.
Проверка по ОДЗ: $x=9 \ge 0$ и $y=0 \ge 0$. Решение подходит.

Ответ: $(9, 0)$.

б) $\begin{cases} x+y - \sqrt{xy} = 6, \\ xy = 16; \end{cases}$

ОДЗ: $xy \ge 0$. Из второго уравнения $xy=16$, условие выполнено.
Подставим значение $xy=16$ в первое уравнение:
$x+y - \sqrt{16} = 6$
$x+y - 4 = 6$
$x+y = 10$
Получили систему:
$\begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 16 \end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1=2, t_2=8$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 8)$ и $(8, 2)$.

Ответ: $(2, 8), (8, 2)$.

в) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 8; \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$.
Разложим второе уравнение на множители: $x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Подставим в него значение $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ из первого уравнения:
$8 = (\sqrt{x}-\sqrt{y}) \cdot 4$
$\sqrt{x}-\sqrt{y} = 2$
Получаем новую систему:
$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$2\sqrt{x} = 6 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.
Вычтем второе уравнение из первого:
$2\sqrt{y} = 2 \implies \sqrt{y} = 1 \implies y = 1$.
Проверка по ОДЗ: $x=9 \ge 0$ и $y=1 \ge 0$. Решение подходит.

Ответ: $(9, 1)$.

г) $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ x^2 y = 12. \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^2$ и $b = y$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $a \ge 0$.
Система принимает вид:
$\begin{cases} a+b = 7 \\ ab = 12 \end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1=3, t_2=4$.
Рассмотрим два случая:
1) $a=3, b=4$.
Возвращаемся к замене: $x^2=3 \implies x = \pm\sqrt{3}$, и $y=4$. Получаем два решения: $(\sqrt{3}, 4)$ и $(-\sqrt{3}, 4)$.
2) $a=4, b=3$.
Возвращаемся к замене: $x^2=4 \implies x = \pm 2$, и $y=3$. Получаем еще два решения: $(2, 3)$ и $(-2, 3)$.
Все четыре пары являются решениями системы.

Ответ: $(\sqrt{3}, 4), (-\sqrt{3}, 4), (2, 3), (-2, 3)$.

14. 1) Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными?

2) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - 3y = 5 \\ 2^{6y-x} = \frac{1}{4} \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5^{2x-y} = 0,2 \\ 5^{y-x} = 125 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2xy = 9 \\ 4^{x-2y} = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3^{3x+y} = \sqrt{3} \\ 5x - 4y = 15 \end{cases}$

3) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x - y = 4 \\ \log_2 x - \log_2 y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^{x-2y} = 1 \\ \lg x + \lg (y+5) = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \log_3 (5x - y) = 2 \\ xy = 2 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ \log_5 x = 1 + \log_5 y \end{cases}$

1)

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, при подстановке которых в каждое уравнение системы (вместо переменных $x$ и $y$ соответственно) получаются верные числовые равенства.

2)

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 2^{6y - x} = \frac{1}{4}. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, то уравнение принимает вид $2^{6y - x} = 2^{-2}$.
Это равносильно уравнению для показателей: $6y - x = -2$.
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} x - 3y = 5, \\ 6y - x = -2. \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы:
$(x - 3y) + (6y - x) = 5 + (-2)$
$3y = 3$
$y = 1$.
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$x - 3 \cdot 1 = 5$
$x - 3 = 5$
$x = 8$.
Проверим решение $(8; 1)$ подстановкой во второе исходное уравнение:
$2^{6 \cdot 1 - 8} = 2^{6-8} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Равенство верное.
Ответ: $(8; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5^{2x - y} = 0,2, \\ 5^{y - x} = 125. \end{cases} $$ Представим правые части уравнений в виде степеней с основанием 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$125 = 5^3$
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 5^{2x - y} = 5^{-1}, \\ 5^{y - x} = 5^3. \end{cases} $$ Перейдем к системе уравнений для показателей степеней: $$ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ y - x = 3. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = x + 3$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x - (x + 3) = -1$
$2x - x - 3 = -1$
$x = 2$.
Теперь найдем $y$:
$y = 2 + 3 = 5$.
Ответ: $(2; 5)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2xy = 9, \\ 4^{x - 2y} = 1. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение. Так как $1 = 4^0$, то $4^{x - 2y} = 4^0$.
Отсюда $x - 2y = 0$, или $x = 2y$.
Подставим $x = 2y$ в первое уравнение системы:
$2(2y)y = 9$
$4y^2 = 9$
$y^2 = \frac{9}{4}$
$y_1 = \frac{3}{2}$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = \frac{3}{2}$, то $x_1 = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
Если $y_2 = -\frac{3}{2}$, то $x_2 = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) = -3$.
Получили два решения.
Ответ: $(3; \frac{3}{2})$, $(-3; -\frac{3}{2})$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{3x+y} = \sqrt{3}, \\ 5x - 4y = 15. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то $3^{3x+y} = 3^{1/2}$.
Отсюда $3x + y = \frac{1}{2}$.
Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 3x + y = \frac{1}{2}, \\ 5x - 4y = 15. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{1}{2} - 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$5x - 4(\frac{1}{2} - 3x) = 15$
$5x - 2 + 12x = 15$
$17x = 17$
$x = 1$.
Найдем $y$:
$y = \frac{1}{2} - 3 \cdot 1 = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$.
Ответ: $(1; -2,5)$.

3)

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 4, \\ \log_2 x - \log_2 y = 1. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Используя свойство логарифмов, преобразуем второе уравнение: $\log_2(\frac{x}{y}) = 1$.
По определению логарифма: $\frac{x}{y} = 2^1$, то есть $x = 2y$.
Подставим $x = 2y$ в первое уравнение системы:
$2y - y = 4$
$y = 4$.
Найдем $x$: $x = 2 \cdot 4 = 8$.
Решение $(8; 4)$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$ и $4 > 0$).
Ответ: $(8; 4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{x - 2y} = 1, \\ \lg x + \lg(y + 5) = 2. \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$ и $y+5 > 0 \implies y > -5$.
Из первого уравнения: $3^{x - 2y} = 3^0 \implies x - 2y = 0 \implies x = 2y$.
Из второго уравнения: $\lg(x(y+5)) = 2 \implies x(y+5) = 10^2 = 100$.
Подставим $x = 2y$ во второе преобразованное уравнение:
$2y(y+5) = 100$
$2y^2 + 10y - 100 = 0$
$y^2 + 5y - 50 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант): $y_1 = 5$, $y_2 = -10$.
Проверим корни по ОДЗ: $y_1 = 5$ удовлетворяет условию $y > -5$.
$y_2 = -10$ не удовлетворяет условию $y > -5$, поэтому это посторонний корень.
Найдем $x$ для $y=5$: $x = 2y = 2 \cdot 5 = 10$.
Значение $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $(10; 5)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_3(5x - y) = 2, \\ xy = 2. \end{cases} $$ ОДЗ: $5x - y > 0$.
Из первого уравнения по определению логарифма: $5x - y = 3^2 = 9$.
Получаем систему: $$ \begin{cases} 5x - y = 9, \\ xy = 2. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5x - 9$.
Подставим во второе уравнение:
$x(5x - 9) = 2$
$5x^2 - 9x - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
$x_2 = \frac{9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = -\frac{1}{5}$, то $y_1 = 5(-\frac{1}{5}) - 9 = -1 - 9 = -10$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 5(2) - 9 = 10 - 9 = 1$.
Проверим оба решения по ОДЗ $5x - y > 0$:
Для $(-\frac{1}{5}; -10)$: $5(-\frac{1}{5}) - (-10) = -1 + 10 = 9 > 0$. Решение подходит.
Для $(2; 1)$: $5(2) - 1 = 10 - 1 = 9 > 0$. Решение подходит.
Ответ: $(-\frac{1}{5}; -10)$, $(2; 1)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26, \\ \log_5 x = 1 + \log_5 y. \end{cases} $$ ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение: $\log_5 x - \log_5 y = 1 \implies \log_5(\frac{x}{y}) = 1$.
Отсюда $\frac{x}{y} = 5^1 = 5$, то есть $x = 5y$.
Подставим $x = 5y$ в первое уравнение:
$(5y)^2 + y^2 = 26$
$25y^2 + y^2 = 26$
$26y^2 = 26$
$y^2 = 1$.
Так как по ОДЗ $y > 0$, то $y = 1$.
Найдем $x$: $x = 5y = 5 \cdot 1 = 5$.
Решение $(5; 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$ и $1 > 0$).
Ответ: $(5; 1)$.