Страница 269 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

580. Моторная лодка движется по озеру со скоростью 30 км/ч. Какова скорость лодки через 3 мин после выключения мотора? (Воспользуйтесь тем, что скорость лодки $v(t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $v'(t) = -kv(t)$, где $k = \frac{5}{3}$, $v$ — скорость в метрах в минуту.)

Для решения задачи необходимо сначала привести все величины к единой системе измерений, указанной в условии. Скорость $v$ и коэффициент $k$ даны для системы, где время измеряется в минутах, а расстояние — в метрах.

Начальная скорость лодки составляет $v_0 = 30 \text{ км/ч}$. Выполним перевод единиц в метры в минуту (м/мин):
$v_0 = 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 30 \times \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{30000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 500 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.
Это скорость лодки в момент выключения мотора, который мы принимаем за начальный момент времени $t=0$. Таким образом, мы имеем начальное условие $v(0) = 500$.

Далее, необходимо решить дифференциальное уравнение $v'(t) = -kv(t)$, которое описывает изменение скорости лодки после выключения мотора. Запишем производную как $\frac{dv}{dt}$:
$\frac{dv}{dt} = -kv(t)$
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем обе части:
$\frac{dv}{v} = -k \, dt$
$\int \frac{dv}{v} = \int -k \, dt$
$\ln(v) = -kt + C_1$ (модуль у знака логарифма опускаем, так как скорость $v$ — величина неотрицательная).
Чтобы выразить $v(t)$, потенцируем обе части уравнения:
$v(t) = e^{-kt + C_1} = e^{C_1}e^{-kt}$
Обозначив постоянную $C = e^{C_1}$, получим общее решение дифференциального уравнения:
$v(t) = C e^{-kt}$

Теперь используем начальное условие $v(0) = 500$ для нахождения константы $C$. Подставим $t=0$ в общее решение:
$v(0) = C e^{-k \cdot 0} = C e^0 = C$
Отсюда следует, что $C = 500$.

Таким образом, закон изменения скорости лодки со временем имеет вид:
$v(t) = 500 e^{-kt}$
По условию задачи, коэффициент $k = \frac{5}{3}$. Нам нужно найти скорость лодки через $t = 3$ мин после выключения мотора. Подставим эти значения в полученную формулу:
$v(3) = 500 e^{-\frac{5}{3} \cdot 3} = 500 e^{-5}$

Ответ: Скорость лодки через 3 мин после выключения мотора составит $500e^{-5}$ м/мин.