Страница 267 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

568. — Проверьте, что функция $y (t)$ является решением данного дифференциального уравнения:

a) $y (t) = 3 \cos (2t + \pi)$, $y'' = -4y;$

б) $y (t) = 4 \sin \left(\frac{1}{2} t - \frac{\pi}{3}\right)$, $y'' = -\frac{1}{4} y;$

в) $y (t) = 2 \cos 4t$, $y'' + 16y = 0;$

г) $y (t) = \frac{1}{3} \sin (0.1t + 1)$, $y'' + 0.01y = 0.$

а) Чтобы проверить, является ли функция $y(t) = 3 \cos(2t + \pi)$ решением дифференциального уравнения $y'' = -4y$, необходимо найти вторую производную функции и подставить ее вместе с функцией в уравнение.

Находим первую производную:

$y'(t) = (3 \cos(2t + \pi))' = 3 \cdot (-\sin(2t + \pi)) \cdot (2t + \pi)' = -6 \sin(2t + \pi)$.

Находим вторую производную:

$y''(t) = (-6 \sin(2t + \pi))' = -6 \cdot \cos(2t + \pi) \cdot (2t + \pi)' = -12 \cos(2t + \pi)$.

Подставляем $y''$ и $y$ в уравнение $y'' = -4y$:

$-12 \cos(2t + \pi) = -4 \cdot (3 \cos(2t + \pi))$

$-12 \cos(2t + \pi) = -12 \cos(2t + \pi)$.

Получено верное тождество, следовательно, функция является решением дифференциального уравнения.

Ответ: Функция $y(t) = 3 \cos(2t + \pi)$ является решением уравнения $y'' = -4y$.

б) Проверим, является ли функция $y(t) = 4 \sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})$ решением уравнения $y'' = -\frac{1}{4}y$.

Находим первую производную:

$y'(t) = (4 \sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}))' = 4 \cdot \cos(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}) \cdot (\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})' = 4 \cos(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cos(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})$.

Находим вторую производную:

$y''(t) = (2 \cos(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}))' = 2 \cdot (-\sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})) \cdot (\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})' = -2 \sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})$.

Подставляем $y''$ и $y$ в уравнение $y'' = -\frac{1}{4}y$:

$-\sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{4} \cdot (4 \sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}))$

$-\sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})$.

Получено верное тождество, что подтверждает, что функция является решением.

Ответ: Функция $y(t) = 4 \sin(\frac{1}{2}t - \frac{\pi}{3})$ является решением уравнения $y'' = -\frac{1}{4}y$.

в) Проверим, является ли функция $y(t) = 2 \cos 4t$ решением уравнения $y'' + 16y = 0$.

Находим первую производную:

$y'(t) = (2 \cos 4t)' = 2 \cdot (-\sin 4t) \cdot (4t)' = -8 \sin 4t$.

Находим вторую производную:

$y''(t) = (-8 \sin 4t)' = -8 \cdot \cos 4t \cdot (4t)' = -32 \cos 4t$.

Подставляем $y''$ и $y$ в уравнение $y'' + 16y = 0$:

$(-32 \cos 4t) + 16 \cdot (2 \cos 4t) = 0$

$-32 \cos 4t + 32 \cos 4t = 0$

$0 = 0$.

Получено верное тождество, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Функция $y(t) = 2 \cos 4t$ является решением уравнения $y'' + 16y = 0$.

г) Проверим, является ли функция $y(t) = \frac{1}{3} \sin(0,1t + 1)$ решением уравнения $y'' + 0,01y = 0$.

Находим первую производную:

$y'(t) = (\frac{1}{3} \sin(0,1t + 1))' = \frac{1}{3} \cdot \cos(0,1t + 1) \cdot (0,1t + 1)' = \frac{0,1}{3} \cos(0,1t + 1)$.

Находим вторую производную:

$y''(t) = (\frac{0,1}{3} \cos(0,1t + 1))' = \frac{0,1}{3} \cdot (-\sin(0,1t + 1)) \cdot (0,1t + 1)' = -\frac{0,1}{3} \sin(0,1t + 1) \cdot 0,1 = -\frac{0,01}{3} \sin(0,1t + 1)$.

Подставляем $y''$ и $y$ в уравнение $y'' + 0,01y = 0$:

$(-\frac{0,01}{3} \sin(0,1t + 1)) + 0,01 \cdot (\frac{1}{3} \sin(0,1t + 1)) = 0$

$-\frac{0,01}{3} \sin(0,1t + 1) + \frac{0,01}{3} \sin(0,1t + 1) = 0$

$0 = 0$.

Получено верное тождество, следовательно, функция является решением уравнения.

Ответ: Функция $y(t) = \frac{1}{3} \sin(0,1t + 1)$ является решением уравнения $y'' + 0,01y = 0$.