Страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

46. Освободитесь от иррациональности в знаменате

a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$; б) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$; в) $\frac{2}{\sqrt{15}}$; г) $\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ является $\sqrt{3}-\sqrt{5}$.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 3 - 5 = -2$

В числителе раскроем скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{6} - \sqrt{10}$

Теперь соберем дробь:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{-2} = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{2} = \frac{-(\sqrt{6}-\sqrt{10})}{2} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

б)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ является $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

В числителе раскроем скобки:

$\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{15} + \sqrt{6}$

Теперь соберем дробь:

$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

в)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{15}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$.

$\frac{2}{\sqrt{15}} = \frac{2 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}}$

В знаменателе получаем:

$\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = (\sqrt{15})^2 = 15$

В числителе получаем:

$2 \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

В результате получаем дробь:

$\frac{2\sqrt{15}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{15}$

г)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ является $\sqrt{7}-\sqrt{2}$.

$\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$

В числителе оставляем выражение в виде:

$3(\sqrt{7}-\sqrt{2})$

Теперь соберем дробь:

$\frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$

47. Вычислите:

a) $ \sqrt{(\sqrt{5} - 2.5)^2} - \sqrt[3]{(1.5 - \sqrt{5})^3} - 1; $

б) $ \frac{(5\sqrt{3} + \sqrt{50})(5 - \sqrt{24})}{\sqrt{75} - 5\sqrt{2}}; $

в) $ \left(\sqrt{(\sqrt{2} - 1.5)^2} - \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^3}\right)^2 + 0.75; $

г) $ \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{20}}{2\sqrt{5} + \sqrt{24}} \cdot (11 + 2\sqrt{30}). $

а) $\sqrt{(\sqrt{5}-2,5)^2} - \sqrt[3]{(1,5-\sqrt{5})^3} - 1$

Для решения воспользуемся свойствами корней: $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа) и $\sqrt[3]{a^3} = a$ (кубический корень из куба числа равен самому числу).

1. Упростим первый член $\sqrt{(\sqrt{5}-2,5)^2}$. Он равен $|\sqrt{5}-2,5|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{5}$ и $2,5$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $(2,5)^2 = 6,25$. Поскольку $5 < 6,25$, то $\sqrt{5} < 2,5$. Значит, разность $\sqrt{5}-2,5$ отрицательна. Следовательно, $|\sqrt{5}-2,5| = -(\sqrt{5}-2,5) = 2,5 - \sqrt{5}$.

2. Упростим второй член $-\sqrt[3]{(1,5-\sqrt{5})^3}$. Он равен $-(1,5-\sqrt{5}) = -1,5 + \sqrt{5}$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$(2,5 - \sqrt{5}) - (1,5 - \sqrt{5}) - 1 = 2,5 - \sqrt{5} - 1,5 + \sqrt{5} - 1$.

Сгруппируем подобные слагаемые: $(2,5 - 1,5 - 1) + (-\sqrt{5} + \sqrt{5}) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: 0

б) $\frac{(5\sqrt{3}+\sqrt{50})(5-\sqrt{24})}{\sqrt{75}-5\sqrt{2}}$

1. Упростим подкоренные выражения, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные значения в исходную дробь:

$\frac{(5\sqrt{3}+5\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}$

3. Вынесем общий множитель 5 в числителе и знаменателе и сократим его:

$\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{5(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

4. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$:

$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2(5-2\sqrt{6})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}$

5. Вычислим знаменатель по формуле разности квадратов: $(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1$.

6. Упростим числитель. Сначала раскроем квадрат суммы: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

7. Теперь числитель имеет вид $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$. Это снова формула разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

8. В результате получаем $\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1

в) $(\sqrt{(\sqrt{2}-1,5)^2} - \sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3})^2 + 0,75$

1. Сначала упростим выражение внутри больших скобок, используя те же свойства корней, что и в пункте а): $\sqrt{a^2} = |a|$ и $\sqrt[3]{a^3} = a$.

$\sqrt{(\sqrt{2}-1,5)^2} = |\sqrt{2}-1,5|$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\sqrt{2} < 1,5$, и разность $\sqrt{2}-1,5$ отрицательна. Значит, $|\sqrt{2}-1,5| = -(\sqrt{2}-1,5) = 1,5 - \sqrt{2}$.

$\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3} = 1-\sqrt{2}$.

2. Подставим упрощенные выражения в скобки:

$(1,5 - \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2}) = 1,5 - \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} = 0,5$.

3. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$(0,5)^2 + 0,75 = 0,25 + 0,75 = 1$.

Ответ: 1

г) $\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{20}}{2\sqrt{5}+\sqrt{24}} \cdot (11+2\sqrt{30})$

1. Упростим корни в дроби:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

2. Подставим упрощенные значения в дробь:

$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}+2\sqrt{6}}$

3. Вынесем общий множитель 2 в числителе и знаменателе и сократим его:

$\frac{2(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{2(\sqrt{5}+\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$

4. Умножим полученную дробь на второй множитель $(11+2\sqrt{30})$:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \cdot (11+2\sqrt{30})$

5. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, домножив ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$:

$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{(\sqrt{6})^2-2\sqrt{6}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}{6-5} = \frac{6-2\sqrt{30}+5}{1} = 11-2\sqrt{30}$.

6. Теперь подставим полученное значение обратно в выражение из шага 4:

$(11-2\sqrt{30}) \cdot (11+2\sqrt{30})$

7. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - (4 \cdot 30) = 121 - 120 = 1$.

Ответ: 1

Упростите выражения (48–51).

48. a) $\left(\frac{a+2}{\sqrt{2a}} - \frac{a}{\sqrt{2a}+2} + \frac{2}{a-\sqrt{2a}}\right) \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2};$

б) $\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2;$

в) $\left(\frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{p+1}} + \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{p-1}}\right) : \left(1+\sqrt{\frac{p+1}{p-1}}\right);$

г) $\left(\frac{\sqrt{c}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{c}}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}+1} - \frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}-1}\right).$

а)

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей:

• $ \sqrt{2a} $
• $ \sqrt{2a}+2 = \sqrt{2}\sqrt{a}+2 = \sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2}) $
• $ a-\sqrt{2a} = \sqrt{a}\sqrt{a}-\sqrt{2}\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2}) $

Общий знаменатель для дробей в скобках: $ \sqrt{2a}(\sqrt{a}+\sqrt{2})(\sqrt{a}-\sqrt{2}) = \sqrt{2a}(a-2) $.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a+2}{\sqrt{2a}} - \frac{a}{\sqrt{2a}+2} + \frac{2}{a-\sqrt{2a}} = \frac{(a+2)(a-2) - a\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{2})}{\sqrt{2a}(a-2)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (a^2-4) - (a^2-a\sqrt{2a}) + (2\sqrt{2a}+4) = a^2-4-a^2+a\sqrt{2a}+2\sqrt{2a}+4 = a\sqrt{2a}+2\sqrt{2a} = (a+2)\sqrt{2a} $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{(a+2)\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}(a-2)} = \frac{a+2}{a-2} $

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$ \frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a+2} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{a-2} $

Используя формулу разности квадратов $ a-2 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2}) $, окончательно упрощаем:

$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{2}}{(\sqrt{a}-\sqrt{2})(\sqrt{a}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} $

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{2}} $

б)

Рассмотрим первую скобку. Упростим дробь $ \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $, используя формулу суммы кубов $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $, где $ x=\sqrt{a} $ и $ y=\sqrt{b} $:

$ a\sqrt{a}+b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{b})((\sqrt{a})^2-\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b) $

Тогда дробь равна:

$ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = a-\sqrt{ab}+b $

Выражение в первой скобке становится:

$ (a-\sqrt{ab}+b) - \sqrt{ab} = a-2\sqrt{ab}+b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 $

Теперь рассмотрим вторую скобку. Упростим выражение $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} $. Используем формулу разности квадратов $ a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:

$ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $

Возведем это выражение в квадрат, как указано в задаче:

$ \left( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)^2 = \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} $

Перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 1 $

Ответ: $ 1 $

в)

Упростим выражение в первой скобке, избавившись от иррациональности в знаменателях дробей.

Первая дробь:

$ \frac{1}{\sqrt{p}+\sqrt{p+1}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{p}-\sqrt{p+1})}{(\sqrt{p}+\sqrt{p+1})(\sqrt{p}-\sqrt{p+1})} = \frac{\sqrt{p}-\sqrt{p+1}}{p-(p+1)} = \frac{\sqrt{p}-\sqrt{p+1}}{-1} = \sqrt{p+1}-\sqrt{p} $

Вторая дробь:

$ \frac{1}{\sqrt{p}-\sqrt{p-1}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{p}+\sqrt{p-1})}{(\sqrt{p}-\sqrt{p-1})(\sqrt{p}+\sqrt{p-1})} = \frac{\sqrt{p}+\sqrt{p-1}}{p-(p-1)} = \frac{\sqrt{p}+\sqrt{p-1}}{1} = \sqrt{p}+\sqrt{p-1} $

Сложим полученные выражения:

$ (\sqrt{p+1}-\sqrt{p}) + (\sqrt{p}+\sqrt{p-1}) = \sqrt{p+1}-\sqrt{p}+\sqrt{p}+\sqrt{p-1} = \sqrt{p+1}+\sqrt{p-1} $

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$ 1 + \sqrt{\frac{p+1}{p-1}} = 1 + \frac{\sqrt{p+1}}{\sqrt{p-1}} = \frac{\sqrt{p-1}+\sqrt{p+1}}{\sqrt{p-1}} $

Выполним деление:

$ (\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}) : \frac{\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}}{\sqrt{p-1}} = (\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}) \cdot \frac{\sqrt{p-1}}{\sqrt{p+1}+\sqrt{p-1}} = \sqrt{p-1} $

Ответ: $ \sqrt{p-1} $

г)

Упростим первый множитель. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$ \frac{\sqrt{c}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{c})^2-1}{2\sqrt{c}} = \frac{c-1}{2\sqrt{c}} $

Возведем в квадрат:

$ \left( \frac{c-1}{2\sqrt{c}} \right)^2 = \frac{(c-1)^2}{(2\sqrt{c})^2} = \frac{(c-1)^2}{4c} $

Теперь упростим второй множитель. Приведем к общему знаменателю выражение в скобках. Общий знаменатель $ (\sqrt{c}+1)(\sqrt{c}-1) = c-1 $.

$ \frac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}+1} - \frac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}-1} = \frac{(\sqrt{c}-1)^2 - (\sqrt{c}+1)^2}{(\sqrt{c}+1)(\sqrt{c}-1)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (c-2\sqrt{c}+1) - (c+2\sqrt{c}+1) = c-2\sqrt{c}+1-c-2\sqrt{c}-1 = -4\sqrt{c} $

Таким образом, второй множитель равен:

$ \frac{-4\sqrt{c}}{c-1} $

Перемножим упрощенные части:

$ \frac{(c-1)^2}{4c} \cdot \frac{-4\sqrt{c}}{c-1} = \frac{(c-1) \cdot (-4\sqrt{c})}{4c} = \frac{-(c-1)\sqrt{c}}{c} = \frac{(1-c)\sqrt{c}}{c} $

Упростим, зная, что $ c=(\sqrt{c})^2 $:

$ \frac{(1-c)\sqrt{c}}{(\sqrt{c})^2} = \frac{1-c}{\sqrt{c}} $

Ответ: $ \frac{1-c}{\sqrt{c}} $

49. a) $\left(\sqrt{k} - \frac{\sqrt[4]{k^3} + 1}{\sqrt[4]{k} + 1}\right)^{-1} - \frac{\sqrt[4]{k^3} + \sqrt{k}}{\sqrt{k-1}};$

б) $\left(\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (2\sqrt{b})^2}{a - b} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) : \frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$

в) $\left(\frac{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \left(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}\right)\right) \left(\sqrt[4]{\frac{x}{y}} + 1\right);$

г) $\frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{ab^2} - \sqrt{a^2 b} - \sqrt{b^3}}{\sqrt[4]{b^5} + \sqrt[4]{a^4 b} - \sqrt[4]{ab^4} - \sqrt[4]{a^5}}.$

а)

Для упрощения выражения введем замену $x = \sqrt[4]{k}$. Тогда $\sqrt{k} = x^2$ и $\sqrt[4]{k^3} = x^3$. Исходное выражение примет вид: $ (\sqrt{k} - \frac{\sqrt[4]{k^3} + 1}{\sqrt[4]{k} + 1})^{-1} - \frac{\sqrt[4]{k^3} + \sqrt{k}}{\sqrt{k}-1} = (x^2 - \frac{x^3 + 1}{x + 1})^{-1} - \frac{x^3 + x^2}{x^2 - 1} $.
Рассмотрим первое слагаемое. Упростим выражение в скобках. Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к числителю дроби: $ \frac{x^3 + 1}{x+1} = \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1} = x^2-x+1 $.
Тогда выражение в скобках становится: $ x^2 - (x^2-x+1) = x^2 - x^2 + x - 1 = x - 1 $.
Возводя в степень -1, получаем: $ (x-1)^{-1} = \frac{1}{x-1} $.
Теперь упростим второе слагаемое. В числителе вынесем общий множитель $x^2$, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $ \frac{x^3 + x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2}{x-1} $.
Выполним вычитание полученных выражений: $ \frac{1}{x-1} - \frac{x^2}{x-1} = \frac{1-x^2}{x-1} = \frac{-(x^2-1)}{x-1} = \frac{-(x-1)(x+1)}{x-1} = -(x+1) = -x-1 $.
Выполним обратную замену $x = \sqrt[4]{k}$: $ -x-1 = -\sqrt[4]{k}-1 $.

Ответ: $-\sqrt[4]{k}-1$.

б)

Сначала упростим выражение в скобках. Рассмотрим первую дробь: $ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - (2\sqrt{b})^2}{a-b} $.
Числитель является разностью квадратов. Разложим его по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - (2\sqrt{b})^2 = ((\sqrt{a}+\sqrt{b}) - 2\sqrt{b})((\sqrt{a}+\sqrt{b}) + 2\sqrt{b}) = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+3\sqrt{b}) $.
Знаменатель $a-b$ также является разностью квадратов: $ a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $.
Сократив дробь, получим: $ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+3\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $.
Теперь выполним вычитание в скобках: $ \frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+3\sqrt{b}) - (\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $.
Осталось выполнить деление: $ \frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{32b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{4\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{32b\sqrt{b}} $.
Сокращаем общие множители $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ и $\sqrt{b}$: $ \frac{4}{32b} = \frac{1}{8b} $.

Ответ: $\frac{1}{8b}$.

в)

Для упрощения введем замену $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$. Тогда $\sqrt{x}=a^2, \sqrt{y}=b^2, \sqrt[4]{x^3}=a^3, \sqrt[4]{y^3}=b^3$. Исходное выражение преобразуется к виду: $ (\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} - (a+b))(\sqrt[4]{\frac{x}{y}}+1) = (\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} - (a+b))(\frac{a}{b}+1) $.
Упростим первую дробь в скобках, используя формулы разности кубов и разности квадратов: $ \frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a+b} $.
Выполним вычитание в первых скобках: $ \frac{a^2+ab+b^2}{a+b} - (a+b) = \frac{a^2+ab+b^2 - (a+b)^2}{a+b} = \frac{a^2+ab+b^2 - (a^2+2ab+b^2)}{a+b} = \frac{-ab}{a+b} $.
Упростим выражение во вторых скобках: $ \frac{a}{b}+1 = \frac{a+b}{b} $.
Перемножим полученные выражения: $ (\frac{-ab}{a+b}) \cdot (\frac{a+b}{b}) = -a $.
Вернемся к исходной переменной: $ -a = -\sqrt[4]{x} $.

Ответ: $-\sqrt[4]{x}$.

г)

Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель дроби. Числитель: $ \sqrt{a^3}+\sqrt{ab^2}-\sqrt{a^2b}-\sqrt{b^3} $.
Вынесем общие множители из-под корня и сгруппируем слагаемые: $ a\sqrt{a}+b\sqrt{a}-a\sqrt{b}-b\sqrt{b} = \sqrt{a}(a+b) - \sqrt{b}(a+b) = (a+b)(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $.
Знаменатель: $ \sqrt[4]{b^5}+\sqrt[4]{a^4b}-\sqrt[4]{ab^4}-\sqrt[4]{a^5} $.
Аналогично, вынесем общие множители и сгруппируем: $ b\sqrt[4]{b}+a\sqrt[4]{b}-b\sqrt[4]{a}-a\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}(a+b) - \sqrt[4]{a}(a+b) = (a+b)(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}) $.
Теперь запишем дробь с упрощенными числителем и знаменателем: $ \frac{(a+b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(a+b)(\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}} $.
Разложим числитель $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ как разность квадратов, где $\sqrt{a}=(\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b}=(\sqrt[4]{b})^2$: $ \sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}) $.
Подставим это в дробь: $ \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}} $.
Так как $\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a} = -(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})$, можем сократить дробь: $ \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{-(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})} = -(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}) $.

Ответ: $-(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$.