Номер 46, страница 282 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 46, страница 282.

Условие.

46. Освободитесь от иррациональности в знаменате

a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$; б) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$; в) $\frac{2}{\sqrt{15}}$; г) $\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ является $\sqrt{3}-\sqrt{5}$.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 3 - 5 = -2$

В числителе раскроем скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{6} - \sqrt{10}$

Теперь соберем дробь:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{-2} = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{2} = \frac{-(\sqrt{6}-\sqrt{10})}{2} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

б)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ является $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

В числителе раскроем скобки:

$\sqrt{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{15} + \sqrt{6}$

Теперь соберем дробь:

$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

в)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt{15}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$.

$\frac{2}{\sqrt{15}} = \frac{2 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}}$

В знаменателе получаем:

$\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = (\sqrt{15})^2 = 15$

В числителе получаем:

$2 \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

В результате получаем дробь:

$\frac{2\sqrt{15}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{15}}{15}$

г)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ является $\sqrt{7}-\sqrt{2}$.

$\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$

В числителе оставляем выражение в виде:

$3(\sqrt{7}-\sqrt{2})$

Теперь соберем дробь:

$\frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$