Номер 53, страница 284 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 53, страница 284.

Условие.

53. a) $2 \text{tg} \alpha - \text{tg} (\alpha - \pi) + \text{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

б) $\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)} - \frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\text{ctg}\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)};$

в) $\frac{\text{tg}(\pi-\beta) \cos(\pi-\beta) \text{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)};$

г) $\frac{\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \sin\left(\frac{16\pi}{9}\right) \cos\left(\frac{13\pi}{18}\right)}{\text{ctg}(\pi-\alpha) \cos\left(\frac{5\pi}{18}\right) \sin\left(\frac{11\pi}{9}\right) \cos(2\pi)}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Упростим выражение $2 \tg \alpha - \tg (\alpha - \pi) + \ctg \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения и свойством периодичности тангенса.

1. Тангенс является функцией с периодом $\pi$, поэтому $\tg(\alpha - \pi) = \tg(\alpha)$.

2. Применим формулу приведения для $\ctg \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$. Угол $\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$ находится в III координатной четверти, где котангенс положителен. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс). Таким образом, $\ctg \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \tg \alpha$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$2 \tg \alpha - \tg \alpha + \tg \alpha = (2 - 1 + 1) \tg \alpha = 2 \tg \alpha$.

Ответ: $2 \tg \alpha$.

б) Упростим выражение $\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)} - \frac{\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\ctg \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$.

Рассмотрим каждую часть выражения отдельно, используя формулы приведения:

1. Первая дробь: $\frac{\sin(-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}$.
Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
По формуле приведения, $\sin(\pi-\alpha) = \sin \alpha$.
Следовательно, $\frac{-\sin \alpha}{\sin \alpha} = -1$.

2. Вторая дробь: $\frac{\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\ctg \alpha}$.
По формуле приведения, $\tg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \ctg \alpha$.
Следовательно, $\frac{\ctg \alpha}{\ctg \alpha} = 1$.

3. Третья дробь: $\frac{\cos \alpha}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$.
По формуле приведения, $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos \alpha$.
Следовательно, $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$-1 - 1 + 1 = -1$.

Ответ: -1.

в) Упростим выражение $\frac{\tg(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta)\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}$.

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

1. Числитель: $\tg(\pi-\beta)\cos(\pi-\beta)\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)$.
Используя формулы приведения:
$\tg(\pi-\beta) = -\tg \beta$
$\cos(\pi-\beta) = -\cos \beta$
$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) = \ctg \beta$
Перемножим: $(-\tg \beta)(-\cos \beta)(\ctg \beta) = \tg \beta \cdot \cos \beta \cdot \ctg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \cdot \cos \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \cos \beta$.

2. Знаменатель: $\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)$.
Используя формулы приведения:
$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) = \cos \beta$
$\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\tg \alpha$
$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -\ctg \alpha$
Перемножим: $(\cos \beta)(-\tg \alpha)(-\ctg \alpha) = \cos \beta \cdot (\tg \alpha \cdot \ctg \alpha) = \cos \beta \cdot 1 = \cos \beta$.

3. Найдем отношение числителя к знаменателю:

$\frac{\cos \beta}{\cos \beta} = 1$.

Ответ: 1.

г) Упростим выражение $\frac{\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \sin\frac{3\pi}{2} \sin\frac{16\pi}{9} \cos\frac{13\pi}{18}}{\ctg(\pi-\alpha) \cos\frac{5\pi}{18} \sin\frac{11\pi}{9} \cos 2\pi}$.

1. Упростим функции, содержащие $\alpha$, и тригонометрические константы:
$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -\ctg \alpha$
$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$
$\ctg(\pi-\alpha) = -\ctg \alpha$
$\cos 2\pi = 1$
Подставим в выражение: $\frac{(-\ctg \alpha) \cdot (-1) \cdot \sin\frac{16\pi}{9} \cos\frac{13\pi}{18}}{(-\ctg \alpha) \cdot \cos\frac{5\pi}{18} \sin\frac{11\pi}{9} \cdot 1}$.

2. Сократим $-\ctg \alpha$:
$\frac{(-1) \cdot \sin\frac{16\pi}{9} \cos\frac{13\pi}{18}}{\cos\frac{5\pi}{18} \sin\frac{11\pi}{9}} = - \frac{\sin\frac{16\pi}{9} \cos\frac{13\pi}{18}}{\cos\frac{5\pi}{18} \sin\frac{11\pi}{9}}$.

3. Преобразуем оставшиеся функции с помощью формул приведения:
$\sin\frac{16\pi}{9} = \sin\left(2\pi - \frac{2\pi}{9}\right) = -\sin\frac{2\pi}{9}$.
$\cos\frac{13\pi}{18} = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{18}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{9}\right) = -\sin\frac{2\pi}{9}$.
$\cos\frac{5\pi}{18} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{18}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9}\right) = \sin\frac{2\pi}{9}$.
$\sin\frac{11\pi}{9} = \sin\left(\pi + \frac{2\pi}{9}\right) = -\sin\frac{2\pi}{9}$.

4. Подставим упрощенные выражения в дробь:
$- \frac{\left(-\sin\frac{2\pi}{9}\right) \cdot \left(-\sin\frac{2\pi}{9}\right)}{\left(\sin\frac{2\pi}{9}\right) \cdot \left(-\sin\frac{2\pi}{9}\right)} = - \frac{\sin^2\frac{2\pi}{9}}{-\sin^2\frac{2\pi}{9}} = 1$.

Ответ: 1.