Номер 60, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 60, страница 285.
№60 (с. 285)
Условие. №60 (с. 285)
скриншот условия

60. Сравните число с нулем:
a) $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \operatorname{tg} 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ;$
б) $\lg \operatorname{tg} 2^\circ + \lg \operatorname{tg} 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ.$
Решение 1. №60 (с. 285)

Решение 3. №60 (с. 285)


Решение 5. №60 (с. 285)
а) Сравним с нулем выражение $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \tg 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ$. Для этого определим знак каждого множителя. Знак десятичного логарифма $\lg x$ определяется значением его аргумента $x$: если $x > 1$, то $\lg x > 0$; если $0 < x < 1$, то $\lg x < 0$. Все углы в данном выражении находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), поэтому значения всех тригонометрических функций положительны.
1. Определим знак $\lg \sin 32^\circ$. Так как $0^\circ < 32^\circ < 90^\circ$, то $0 < \sin 32^\circ < 1$. Следовательно, $\lg \sin 32^\circ < 0$ (отрицательный).
2. Определим знак $\lg \cos 7^\circ$. Так как $0^\circ < 7^\circ < 90^\circ$, то $0 < \cos 7^\circ < 1$. Следовательно, $\lg \cos 7^\circ < 0$ (отрицательный).
3. Определим знак $\lg \tg 40^\circ$. Так как $0^\circ < 40^\circ < 45^\circ$, то $0 < \tg 40^\circ < \tg 45^\circ = 1$. Следовательно, $\lg \tg 40^\circ < 0$ (отрицательный).
4. Определим знак $\lg \operatorname{ctg} 20^\circ$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 20^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$. Следовательно, $\lg \operatorname{ctg} 20^\circ > 0$ (положительный).
В произведении три отрицательных множителя и один положительный. Произведение нечетного числа отрицательных сомножителей является отрицательным числом. Таким образом, $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
Ответ: $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \tg 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ < 0$.
б) Сравним с нулем выражение $\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ$.
Воспользуемся свойством логарифма: сумма логарифмов равна логарифму произведения их аргументов ($\lg a + \lg b = \lg(ab)$). Применим это свойство ко всему выражению:
$\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ = \lg(\tg 2^\circ \cdot \tg 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ)$
Сгруппируем множители внутри логарифма:
$\lg((\tg 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 2^\circ) \cdot (\tg 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ))$
Используя тригонометрическое тождество $\tg x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$, получаем:
$\lg(1 \cdot 1) = \lg(1)$
Значение десятичного логарифма от единицы равно нулю, $\lg 1 = 0$.
Следовательно, исходное выражение равно нулю.
Ответ: $\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 60 расположенного на странице 285 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №60 (с. 285), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.