Номер 60, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 60, страница 285.

Условие.

60. Сравните число с нулем:

a) $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \operatorname{tg} 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ;$

б) $\lg \operatorname{tg} 2^\circ + \lg \operatorname{tg} 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Сравним с нулем выражение $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \tg 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ$. Для этого определим знак каждого множителя. Знак десятичного логарифма $\lg x$ определяется значением его аргумента $x$: если $x > 1$, то $\lg x > 0$; если $0 < x < 1$, то $\lg x < 0$. Все углы в данном выражении находятся в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), поэтому значения всех тригонометрических функций положительны.

1. Определим знак $\lg \sin 32^\circ$. Так как $0^\circ < 32^\circ < 90^\circ$, то $0 < \sin 32^\circ < 1$. Следовательно, $\lg \sin 32^\circ < 0$ (отрицательный).

2. Определим знак $\lg \cos 7^\circ$. Так как $0^\circ < 7^\circ < 90^\circ$, то $0 < \cos 7^\circ < 1$. Следовательно, $\lg \cos 7^\circ < 0$ (отрицательный).

3. Определим знак $\lg \tg 40^\circ$. Так как $0^\circ < 40^\circ < 45^\circ$, то $0 < \tg 40^\circ < \tg 45^\circ = 1$. Следовательно, $\lg \tg 40^\circ < 0$ (отрицательный).

4. Определим знак $\lg \operatorname{ctg} 20^\circ$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 45^\circ$, то $\operatorname{ctg} 20^\circ > \operatorname{ctg} 45^\circ = 1$. Следовательно, $\lg \operatorname{ctg} 20^\circ > 0$ (положительный).

В произведении три отрицательных множителя и один положительный. Произведение нечетного числа отрицательных сомножителей является отрицательным числом. Таким образом, $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: $\lg \sin 32^\circ \cdot \lg \cos 7^\circ \cdot \lg \tg 40^\circ \cdot \lg \operatorname{ctg} 20^\circ < 0$.

б) Сравним с нулем выражение $\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ$.

Воспользуемся свойством логарифма: сумма логарифмов равна логарифму произведения их аргументов ($\lg a + \lg b = \lg(ab)$). Применим это свойство ко всему выражению:

$\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ = \lg(\tg 2^\circ \cdot \tg 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ)$

Сгруппируем множители внутри логарифма:

$\lg((\tg 2^\circ \cdot \operatorname{ctg} 2^\circ) \cdot (\tg 4^\circ \cdot \operatorname{ctg} 4^\circ))$

Используя тригонометрическое тождество $\tg x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$, получаем:

$\lg(1 \cdot 1) = \lg(1)$

Значение десятичного логарифма от единицы равно нулю, $\lg 1 = 0$.

Следовательно, исходное выражение равно нулю.

Ответ: $\lg \tg 2^\circ + \lg \tg 4^\circ + \lg \operatorname{ctg} 2^\circ + \lg \operatorname{ctg} 4^\circ = 0$.