Номер 66, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 66, страница 286.

Условие.

66. Найдите значение выражения:

а) $\frac{\lg 8+\lg 18}{2 \lg 2+\lg 3}$;

б) $2 \log_{0,3} 3 - 2 \log_{0,3} 10$;

в) $\frac{3 \lg 2+3 \lg 5}{\lg 13-\lg 130}$;

г) $(2 \log_{12} 2 + \log_{12} 3) (2 \log_{12} 6 - \log_{12} 3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для решения используем свойства логарифмов: сумма логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$ и вынесение показателя степени $n \log_a x = \log_a(x^n)$.
Преобразуем числитель:
$\lg 8 + \lg 18 = \lg(8 \cdot 18) = \lg(144) = \lg(12^2) = 2 \lg 12$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \lg 2 + \lg 3 = \lg(2^2) + \lg 3 = \lg 4 + \lg 3 = \lg(4 \cdot 3) = \lg 12$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{\lg 8 + \lg 18}{2 \lg 2 + \lg 3} = \frac{2 \lg 12}{\lg 12} = 2$.
Ответ: 2

б) Для решения используем свойства логарифмов: разность логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$ и основное свойство $\log_a a = 1$.
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2 \log_{0,3} 3 - 2 \log_{0,3} 10 = 2(\log_{0,3} 3 - \log_{0,3} 10)$.
Применим свойство разности логарифмов к выражению в скобках:
$2(\log_{0,3}(\frac{3}{10})) = 2 \log_{0,3}(0,3)$.
Так как $\log_a a = 1$, то $\log_{0,3}(0,3) = 1$.
Получаем:
$2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2

в) Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм (по основанию 10), т.е. $\lg x = \log_{10} x$.
Преобразуем числитель:
$3 \lg 2 + 3 \lg 5 = 3(\lg 2 + \lg 5) = 3(\lg(2 \cdot 5)) = 3 \lg 10$.
Поскольку $\lg 10 = 1$, числитель равен $3 \cdot 1 = 3$.
Преобразуем знаменатель:
$\lg 13 - \lg 130 = \lg(\frac{13}{130}) = \lg(\frac{1}{10}) = \lg(10^{-1})$.
По свойству $ \log_a(x^n) = n \log_a x $, получаем:
$-1 \cdot \lg 10 = -1 \cdot 1 = -1$.
Теперь найдём значение дроби:
$\frac{3}{-1} = -3$.
Ответ: -3

г) Упростим выражение в каждой из скобок по отдельности.
Первая скобка: $2 \log_{12} 2 + \log_{12} 3$.
Используя свойство $n \log_a x = \log_a(x^n)$, получаем:
$\log_{12}(2^2) + \log_{12} 3 = \log_{12} 4 + \log_{12} 3$.
Используя свойство $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$, получаем:
$\log_{12}(4 \cdot 3) = \log_{12} 12 = 1$.
Вторая скобка: $2 \log_{12} 6 - \log_{12} 3$.
Используя свойство $n \log_a x = \log_a(x^n)$, получаем:
$\log_{12}(6^2) - \log_{12} 3 = \log_{12} 36 - \log_{12} 3$.
Используя свойство $\log_a x - \log_a y = \log_a(\frac{x}{y})$, получаем:
$\log_{12}(\frac{36}{3}) = \log_{12} 12 = 1$.
Перемножим результаты, полученные для каждой скобки:
$1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1