Номер 71, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 71, страница 286.

Условие.

71. Известно, что $\log_{2}(\sqrt{3} + 1) + \log_{2}(\sqrt{6} - 2) = A$.

Найдите сумму $\log_{2}(\sqrt{3} - 1) + \log_{2}(\sqrt{6} + 2)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомая сумма равна $X$. Таким образом, мы имеем два равенства:
$A = \log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{6} - 2)$ (согласно условию)
$X = \log_2(\sqrt{3} - 1) + \log_2(\sqrt{6} + 2)$ (искомое выражение)

Сложим левые и правые части этих равенств:
$A + X = (\log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{6} - 2)) + (\log_2(\sqrt{3} - 1) + \log_2(\sqrt{6} + 2))$

Сгруппируем слагаемые в правой части для удобства вычислений:
$A + X = [\log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{3} - 1)] + [\log_2(\sqrt{6} - 2) + \log_2(\sqrt{6} + 2)]$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(mn)$.

Вычислим значение первой группы слагаемых, применив также формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\log_2(\sqrt{3} + 1) + \log_2(\sqrt{3} - 1) = \log_2((\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)) = \log_2((\sqrt{3})^2 - 1^2) = \log_2(3 - 1) = \log_2(2) = 1$.

Аналогично вычислим значение второй группы слагаемых:
$\log_2(\sqrt{6} - 2) + \log_2(\sqrt{6} + 2) = \log_2((\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)) = \log_2((\sqrt{6})^2 - 2^2) = \log_2(6 - 4) = \log_2(2) = 1$.

Теперь подставим вычисленные значения обратно в сумму $A+X$:
$A + X = 1 + 1$
$A + X = 2$

Из полученного уравнения выразим искомую величину $X$:
$X = 2 - A$

Ответ: $2 - A$.