Номер 78, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 78, страница 289.

Условие.

78. Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $y = \frac{x-4}{x^3-x}$;

б) $y = x^2 + \frac{4}{x-1}$;

в) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$;

г) $y = \frac{1}{3x^3 - 2x^2 + 5}$.

Решение 1.

Решение 5.

а) $y = \frac{x-4}{x^3-x}$

Данная функция является рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:

$x^3 - x = 0$

$x(x^2 - 1) = 0$

$x(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда получаем три точки разрыва: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Следовательно, функция непрерывна на объединении интервалов, из которых состоит ее область определения.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

---

б) $y = x^2 + \frac{4}{x-1}$

Функция представляет собой сумму многочлена $y_1=x^2$ и дробно-рациональной функции $y_2=\frac{4}{x-1}$. Многочлен $y_1=x^2$ непрерывен на всей числовой оси. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией. Разрывы могут возникать только в точках, где хотя бы одно из слагаемых имеет разрыв. В данном случае это точки, где знаменатель дроби равен нулю.

Найдем точку разрыва, приравняв знаменатель к нулю:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, функция имеет единственную точку разрыва при $x=1$.

Промежутки непрерывности функции:

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

---

в) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$

Данная функция является разностью двух функций: $y_1 = \frac{x}{2}$ и $y_2 = \frac{2}{x}$. Первая функция, $y_1$, является линейной и непрерывна на всей числовой оси. Вторая функция, $y_2$, является дробно-рациональной и имеет разрыв в точке, где ее знаменатель обращается в ноль.

Найдем точку разрыва, приравняв знаменатель второго слагаемого к нулю:

$x = 0$

Следовательно, исходная функция непрерывна везде, кроме точки $x=0$.

Промежутки непрерывности функции:

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

---

г) $y = \frac{1}{3x^3 - 2x^2 + 5}$

Эта рациональная функция непрерывна везде, где ее знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя, решив уравнение:

$3x^3 - 2x^2 + 5 = 0$

Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 5: $\pm1, \pm5$.

Подставим $x=-1$: $3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5 = 3(-1) - 2(1) + 5 = -3 - 2 + 5 = 0$.

Так как $x=-1$ является корнем, то многочлен в знаменателе делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или "в столбик". Получим:

$(3x^3 - 2x^2 + 5) : (x+1) = 3x^2 - 5x + 5$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x+1)(3x^2 - 5x + 5) = 0$

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 25 - 60 = -35$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль только в одной точке: $x = -1$. Это единственная точка разрыва функции.

Промежутки непрерывности функции:

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.