Номер 78, страница 289 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 78, страница 289.
№78 (с. 289)
Условие. №78 (с. 289)
скриншот условия

78. Найдите промежутки непрерывности функции:
а) $y = \frac{x-4}{x^3-x}$;
б) $y = x^2 + \frac{4}{x-1}$;
в) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$;
г) $y = \frac{1}{3x^3 - 2x^2 + 5}$.
Решение 1. №78 (с. 289)

Решение 5. №78 (с. 289)
а) $y = \frac{x-4}{x^3-x}$
Данная функция является рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю:
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x-1)(x+1) = 0$
Отсюда получаем три точки разрыва: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Следовательно, функция непрерывна на объединении интервалов, из которых состоит ее область определения.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
б) $y = x^2 + \frac{4}{x-1}$
Функция представляет собой сумму многочлена $y_1=x^2$ и дробно-рациональной функции $y_2=\frac{4}{x-1}$. Многочлен $y_1=x^2$ непрерывен на всей числовой оси. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией. Разрывы могут возникать только в точках, где хотя бы одно из слагаемых имеет разрыв. В данном случае это точки, где знаменатель дроби равен нулю.
Найдем точку разрыва, приравняв знаменатель к нулю:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Таким образом, функция имеет единственную точку разрыва при $x=1$.
Промежутки непрерывности функции:
Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
в) $y = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$
Данная функция является разностью двух функций: $y_1 = \frac{x}{2}$ и $y_2 = \frac{2}{x}$. Первая функция, $y_1$, является линейной и непрерывна на всей числовой оси. Вторая функция, $y_2$, является дробно-рациональной и имеет разрыв в точке, где ее знаменатель обращается в ноль.
Найдем точку разрыва, приравняв знаменатель второго слагаемого к нулю:
$x = 0$
Следовательно, исходная функция непрерывна везде, кроме точки $x=0$.
Промежутки непрерывности функции:
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
г) $y = \frac{1}{3x^3 - 2x^2 + 5}$
Эта рациональная функция непрерывна везде, где ее знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя, решив уравнение:
$3x^3 - 2x^2 + 5 = 0$
Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 5: $\pm1, \pm5$.
Подставим $x=-1$: $3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5 = 3(-1) - 2(1) + 5 = -3 - 2 + 5 = 0$.
Так как $x=-1$ является корнем, то многочлен в знаменателе делится на $(x+1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или "в столбик". Получим:
$(3x^3 - 2x^2 + 5) : (x+1) = 3x^2 - 5x + 5$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(x+1)(3x^2 - 5x + 5) = 0$
Теперь найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 5 = 0$. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 25 - 60 = -35$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, знаменатель обращается в ноль только в одной точке: $x = -1$. Это единственная точка разрыва функции.
Промежутки непрерывности функции:
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 78 расположенного на странице 289 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №78 (с. 289), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.