Номер 72, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 72, страница 286.

Условие.

72. Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, угол при основании 30°. Задайте формулой:

a) площадь трапеции как функцию боковой стороны;

б) периметр трапеции как функцию ее высоты.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) площадь трапеции как функцию боковой стороны;
Пусть боковая сторона равнобедренной трапеции равна $c$. По условию, одно из оснований также равно $c$. Угол при основании равен $30^{\circ}$, это острый угол, следовательно, он прилежит к большему основанию. Если предположить, что большее основание равно боковой стороне, то это приведет к геометрическому противоречию (проекция боковой стороны на основание окажется отрицательной). Значит, меньшее основание равно боковой стороне. Обозначим меньшее основание как $a$ и большее как $b$. Таким образом, $a = c$.
Опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее. В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенуза равна боковой стороне $c$, а один из острых углов равен $30^{\circ}$.
Высота трапеции $h$ является катетом, противолежащим углу $30^{\circ}$: $h = c \cdot \sin(30^{\circ}) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$.
Проекция боковой стороны на большее основание $x$ является катетом, прилежащим к углу $30^{\circ}$: $x = c \cdot \cos(30^{\circ}) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Большее основание $b$ равно сумме меньшего основания и двух таких проекций: $b = a + 2x = c + 2 \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = c + c\sqrt{3} = c(1+\sqrt{3})$.
Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим найденные выражения для $a, b$ и $h$ через $c$:
$S(c) = \frac{c + c(1+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c(1+1+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c(2+\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{c}{2} = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$.
Ответ: $S(c) = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$

б) периметр трапеции как функцию ее высоты.
Необходимо выразить периметр $P$ через высоту трапеции $h$.
Из пункта а) мы имеем соотношение между высотой и боковой стороной: $h = \frac{c}{2}$. Отсюда выразим боковую сторону $c$ через высоту $h$: $c = 2h$.
Теперь выразим все стороны трапеции через $h$:

• Боковые стороны равны $c = 2h$.
• Меньшее основание $a = c = 2h$.
• Большее основание $b = c(1+\sqrt{3}) = 2h(1+\sqrt{3})$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + 2c$.
Подставим выражения для сторон через $h$:
$P(h) = 2h + 2h(1+\sqrt{3}) + 2 \cdot (2h) = 2h + 2h + 2h\sqrt{3} + 4h = 8h + 2h\sqrt{3} = 2h(4+\sqrt{3})$.
Ответ: $P(h) = 2h(4+\sqrt{3})$