Номер 65, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 65, страница 285.

Условие.

65. Запишите число в виде десятичной дроби:

а) $49^{1-\log_7 2} + 5;$

б) $36^{\frac{1}{2}-\log_6 5} + 2^{-\log_2 10}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $49^{1-\log_7 2} + 5$

Для решения данного выражения, преобразуем его по частям, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Рассмотрим первое слагаемое $49^{1-\log_7 2}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$49^{1-\log_7 2} = \frac{49^1}{49^{\log_7 2}}$

2. Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что основание степени 49 можно представить как $7^2$. Это удобно, так как основание логарифма равно 7.

$49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2}$

3. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \cdot \log_7 2}$

4. Применим свойство логарифма $k \cdot \log_b a = \log_b a^k$:

$7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4}$

5. Теперь используем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$:

$7^{\log_7 4} = 4$

6. Подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{49}{49^{\log_7 2}} = \frac{49}{4} = 12.5$

7. Теперь выполним сложение с числом 5:

$12.5 + 5 = 17.5$

Ответ: 17.5

б) $36^{\frac{1}{2} - \log_6 5} + 2^{-\log_2 10}$

Решим это выражение, вычислив значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Преобразуем первое слагаемое $36^{\frac{1}{2} - \log_6 5}$. По свойству степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$36^{\frac{1}{2} - \log_6 5} = \frac{36^{\frac{1}{2}}}{36^{\log_6 5}}$

Числитель: $36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.

Знаменатель: $36^{\log_6 5}$. Представим 36 как $6^2$ и применим свойства степеней и логарифмов, как в пункте а):

$36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2\log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$

По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$:

$6^{\log_6 25} = 25$

Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{6}{25}$.

2. Преобразуем второе слагаемое $2^{-\log_2 10}$. Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-\log_2 10} = \frac{1}{2^{\log_2 10}}$

Применяя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, получаем:

$\frac{1}{2^{\log_2 10}} = \frac{1}{10}$

3. Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{6}{25} + \frac{1}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 50:

$\frac{6 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{12}{50} + \frac{5}{50} = \frac{17}{50}$

4. Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{17}{50} = \frac{17 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{34}{100} = 0.34$

Ответ: 0.34