Номер 62, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 62, страница 285.

Условие.

62. a) $3^{400}$ и $4^{300}$;

б) $-\log_{5} \frac{1}{5}$ и $7^{\log_{3} 1}$;

в) $5^{200}$ и $2^{500}$;

г) $\log_{4} \sqrt{2}$ и $\log_{3} \frac{1}{81}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы сравнить числа $3^{400}$ и $4^{300}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 400 и 300 равен 100.
Представим первое число как степень с показателем 100: $3^{400} = 3^{4 \cdot 100} = (3^4)^{100} = 81^{100}$.
Представим второе число как степень с показателем 100: $4^{300} = 4^{3 \cdot 100} = (4^3)^{100} = 64^{100}$.
Теперь сравним основания полученных степеней: $81$ и $64$.
Так как $81 > 64$, то и $81^{100} > 64^{100}$.
Следовательно, $3^{400} > 4^{300}$.
Ответ: $3^{400} > 4^{300}$.

б) Упростим каждое выражение.
Рассмотрим первое выражение: $-\log_5 \frac{1}{5}$.
Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то $-\log_5 \frac{1}{5} = -\log_5(5^{-1})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(b^p) = p \log_a b$, получаем: $-(-1 \cdot \log_5 5)$.
Поскольку $\log_5 5 = 1$, выражение равно $-(-1) = 1$.
Рассмотрим второе выражение: $7^{\log_3 1}$.
По определению логарифма, $\log_3 1 = 0$, так как $3^0=1$.
Тогда выражение принимает вид $7^0$, что равно $1$.
Сравнивая результаты, получаем $1 = 1$.
Следовательно, $-\log_5 \frac{1}{5} = 7^{\log_3 1}$.
Ответ: $-\log_5 \frac{1}{5} = 7^{\log_3 1}$.

в) Чтобы сравнить числа $5^{200}$ и $2^{500}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 200 и 500 равен 100.
Представим первое число: $5^{200} = 5^{2 \cdot 100} = (5^2)^{100} = 25^{100}$.
Представим второе число: $2^{500} = 2^{5 \cdot 100} = (2^5)^{100} = 32^{100}$.
Теперь сравним основания $25$ и $32$.
Так как $25 < 32$, то и $25^{100} < 32^{100}$.
Следовательно, $5^{200} < 2^{500}$.
Ответ: $5^{200} < 2^{500}$.

г) Упростим каждое выражение.
Рассмотрим первое выражение: $\log_4 \sqrt{2}$.
Представим основание 4 и аргумент $\sqrt{2}$ в виде степеней с основанием 2: $4 = 2^2$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Получаем $\log_4 \sqrt{2} = \log_{2^2} (2^{1/2})$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$, имеем: $\frac{1/2}{2} \log_2 2 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
Рассмотрим второе выражение: $\log_3 \frac{1}{81}$.
Представим аргумент $\frac{1}{81}$ как степень с основанием 3: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
Тогда $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 (3^{-4})$.
Используя свойство $\log_a(a^p) = p$, получаем $-4$.
Теперь сравним полученные значения: $\frac{1}{4}$ и $-4$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, $\frac{1}{4} > -4$.
Следовательно, $\log_4 \sqrt{2} > \log_3 \frac{1}{81}$.
Ответ: $\log_4 \sqrt{2} > \log_3 \frac{1}{81}$.